數學物理方法（第2版）

目　　錄
前　言
第１章　復變函數引論 １
?。?１　復數與復變函數 １
１.１.１　復數表示法 ２
１.１.２　復數的運算規(guī)則 ３
１.１.３　復變函數的概念 ５
１.１.４　復多項式與復變函數的冪級數 １０
?。?２　初等復變函數與反函數 １４
１.２.１　初等復變函數的定義 １４
１.２.２　指數函數、三角函數與雙曲函數 １５
１.２.３　反函數 １９
　１.３　復變函數的導數與解析函數 ２３
１.３.１　復變函數的導數與解析函數的定義 ２３
１.３.２　柯西Ｇ黎曼方程 ２６
１.３.３　多值函數的解析延拓 ２９
?。?４　復變函數的積分 ３２
１.４.１　復變函數積分的概念和計算 ３２
１.４.２　柯西古薩定理 ３５
１.４.３　復變函數的原函數與積分 ３７
?。?５　解析函數的高階導數和泰勒級數 ４１
１.５.１　解析函數的高階導數 ４１
１.５.２　泰勒級數 ４６
　１.６　羅朗級數與留數 ４９
１.６.１　羅朗級數 ５０
１.６.２　留數和圍道積分 ５４
１.６.３　留數的簡便求法 ５７
?。?７　留數在定積分計算中的應用 ５８
１.７.１　∫２π
０
f(cosθ,sinθ)dθ型積分 ６０
Ⅴ
數學物理方法　第２版
１.７.２　∫＋∞
－∞
f(x)dx型積分 ６１
１.７.３　∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型積分 ６２
１.７.４　∫＋∞
－∞
f(x)dx型積分,且f(x)在實軸上有一階極點的積分 ６３
１.７.５　∫＋∞
－∞
f(x)ejmxdx(m ＞０)型積分,且f(x)在實軸上有一階極點的積分 ６４
　習題１ ６４
第２章　傅里葉變換 ６９
　２.１　函數空間及函數展開 ６９
２.１.１　函數的內積 ６９
２.１.２　平方可積函數空間與函數展開 ７３
　２.２　傅里葉積分與傅里葉變換 ７８
２.２.１　一維傅里葉變換定理 ７８
２.２.２　多維傅里葉變換 ８３
?。?３　階躍函數與δ函數的傅里葉變換 ８４
２.３.１　階躍函數及廣義傅里葉變換 ８４
２.３.２　廣義函數及δ(x)函數 ８８
２.３.３　δ(x)函數的性質 ９２
?。?４　傅里葉變換的性質 ９８
?。?５　函數的卷積與傅里葉變換的卷積定理 １０３
２.５.１　函數的卷積 １０３
２.５.２　傅里葉變換的卷積定理 １０６
?。?６　復值函數的傅里葉變換 １０８
　習題２ １０９
第３章　拉普拉斯變換 １１３
　３.１　拉普拉斯變換的基本原理 １１３
３.１.１　拉普拉斯變換的概念 １１３
３.１.２　周期脈沖函數拉普拉斯變換的計算方法 １１７
?。?２　拉氏變換的性質 １１８
?。?３　拉氏變換的卷積定理 １２６
３.３.１　卷積的意義和它的運算規(guī)則 １２６
３.３.２　卷積定理 １２７
?。?４　拉氏逆變換及其應用 １３０
Ⅵ
目　　錄
３.４.１　拉氏逆變換的反演積分原理 １３０
３.４.２　用拉氏逆變換解常微分方程 １３３
　習題３ １３８
第４章　用分離變量法求解偏微分方程 １４０
?。?１　數學物理方程的導出 １４０
?。?２　定解問題的基本概念 １４６
４.２.１　泛定方程的基本概念 １４６
４.２.２　定解條件 １４９
４.２.３　線性偏微分方程解的疊加定理 １５１
?。?３　直角坐標系下的分離變量法 １５３
４.３.１　一維齊次定解問題的分離變量法 １５３
４.３.２　高維齊次定解問題的分離變量法 １５９
?。?４　直角坐標系下的第三類邊值問題與廣義傅里葉級數 １６１
４.４.１　直角坐標系下的第三類邊值問題的求解 １６１
４.４.２　廣義傅里葉級數 １６４
　４.５　拉普拉斯方程的定解問題 １６７
４.５.１　平面直角坐標系中的狄利克萊問題 １６７
４.５.２　直角坐標系中拉普拉斯方程的混合定解問題 １６９
４.５.３　圓域內的狄利克萊問題 １７１
?。?６　特征函數展開法解齊次邊界條件的定解問題 １７４
４.６.１　齊次邊界條件發(fā)展方程初值問題的解法 １７５
４.６.２　非齊次邊界條件邊值問題的解法 １７７
?。?７　非齊次邊界條件的處理 １８０
　習題４ １８４
第５章　二階線性常微分方程的級數解法和廣義傅里葉級數 １８８
?。?１　貝塞爾方程與勒讓德方程 １８８
５.１.１　貝塞爾方程的導出 １８９
５.１.２　勒讓德方程的引入 １９１
　５.２　二階線性常微分方程的冪級數解法 １９３
５.２.１　二階線性常微分方程的奇點與常點 １９３
５.２.２　二階線性常微分方程的冪級數解 １９４
?。?３　二階線性常微分方程的廣義冪級數解法 １９８
５.３.１　弗羅貝尼烏斯解法理論 １９８
５.３.２　弗羅貝尼烏斯級數解法 ２０２
Ⅶ
數學物理方法　第２版
?。?４　常微分方程的邊值問題 ２０７
５.４.１　常微分方程邊值問題的提出 ２０７
５.４.２　SL問題的定理 ２１０
５.４.３　廣義傅里葉級數的進一步討論 ２１３
　習題５ ２１７
第６章　柱面坐標中的偏微分方程解法 ２１９
?。?１　貝塞爾方程的解與貝塞爾函數 ２１９
６.１.１　第一類和第二類貝塞爾函數 ２１９
６.１.２　整數階諾依曼函數 ２