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內(nèi)容簡(jiǎn)介

　　本書通過一系列重要的數(shù)學(xué)地標(biāo)，系統(tǒng)地梳理了微積分理論，既包含課堂上沒講授的數(shù)學(xué)通識(shí)內(nèi)容，又包含對(duì)一些復(fù)雜知識(shí)點(diǎn)的細(xì)致拆解，還包含微積分在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，幫助讀者開闊數(shù)學(xué)視野、提高數(shù)學(xué)思維、加深對(duì)數(shù)學(xué)的理解。全書共分為四篇：第一篇“數(shù)學(xué)通識(shí)，一些你應(yīng)該了解的觀點(diǎn)和事實(shí)”為讀者構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理念和方法；第二篇“從有限到無窮，初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的分水嶺”解釋高等數(shù)學(xué)何以稱為高等？大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容相比是否存在一個(gè)明確的分水嶺？為微積分的引入做好鋪墊；第三篇“從局部到整體，微積分的華彩樂章”是全書核心，借助“局部—整體原則”討論函數(shù)極限、連續(xù)性、無窮小及其比較、導(dǎo)數(shù)與微分、微積分基本定理、多元函數(shù)微積分等；第四篇“以簡(jiǎn)單代復(fù)雜，微積分的實(shí)踐之路”包括泰勒展開、傅里葉展開、最小作用量原理，以及極值問題在數(shù)學(xué)、工程學(xué)、人工智能等領(lǐng)域的應(yīng)用。

作者簡(jiǎn)介

　　唐舜，首都師范大學(xué)教授，2011年在法國巴黎第十一大學(xué)取得數(shù)學(xué)博士學(xué)位，隨后在德國馬克斯-普朗克數(shù)學(xué)研究所從事博士后研究工作，曾在有近200年歷史的國際著名數(shù)學(xué)期刊《克雷爾雜志》和《倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)進(jìn)展》獨(dú)立發(fā)表學(xué)術(shù)論文，擔(dān)任美國數(shù)學(xué)會(huì)《數(shù)學(xué)評(píng)論》和德國《數(shù)學(xué)文摘》評(píng)論員。擔(dān)任中國科協(xié)“英才計(jì)劃”以及北京青少年科技俱樂部指導(dǎo)教師，曾指導(dǎo)中學(xué)生獲得北京市青少年科技創(chuàng)新大賽二等獎(jiǎng)。所講授的《解析幾何》課程B站播放量超過22萬；撰寫的“知乎”數(shù)學(xué)科普專欄閱讀總量超過60萬，訂閱人數(shù)超過4200。

圖書目錄

目錄
第1章天賦還是勤奮
1.1沒什么特別的人類
1.2難以測(cè)量的直覺
第2章想象力是最大的武器
2.1哥貝克力石陣
2.2規(guī)天矩地
2.3數(shù)字崇拜
第3章數(shù)字背后的邏輯
3.1誰更有錢
3.2一一映射
3.3快速計(jì)算比賽場(chǎng)次
3.4漢字簡(jiǎn)化
3.5基數(shù)與序數(shù)
第4章區(qū)分抽象與還原
4.1抽象的數(shù)學(xué)處理
4.2生動(dòng)的數(shù)學(xué)還原
4.3抽象與還原之爭(zhēng)
第5章文明的進(jìn)步
5.1古巴比倫數(shù)字
5.2古埃及數(shù)字
5.3古代中國的算籌
5.4印度人的貢獻(xiàn)
5.5一場(chǎng)生物學(xué)制造的意外
第6章背離經(jīng)驗(yàn)的科學(xué)
6.1相對(duì)論的拼圖
6.2缺損棋盤問題
6.3失效的經(jīng)驗(yàn)
第7章數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)（I）
7.1邏輯感
7.2一道解三角形題的本質(zhì)
7.3計(jì)算三角函數(shù)值的標(biāo)準(zhǔn)做法
7.4“三段式”論證
7.5你知道有幾只病狗嗎
第8章數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)（II）
8.1結(jié)構(gòu)感知力
8.2回歸求知的本心
第9章史上最大的“邏輯漏洞”
9.1真相是什么
9.2阿基米德的證明
9.3數(shù)學(xué)走上神壇
第10章無窮的困境
10.1芝諾悖論
10.2阿基里斯與烏龜
10.3飛矢不動(dòng)
10.4理性與感觀
第11章第一次嘗試
11.1伽利略的悖論
11.2抽象與演繹的沖突
11.3伽利略的選擇
第12章無法回避的難題
12.1封閉的疆域
12.2幾何能做的也有限
12.3數(shù)學(xué)界的思想解放
第13章探尋之路
13.1實(shí)數(shù)的模型
13.2混亂的狀況
13.3柯西與極限
13.4柯西收斂準(zhǔn)則
第14章實(shí)數(shù)軸的重生
14.1康托爾的實(shí)數(shù)模型
14.2 1.000等于0.999嗎
14.3堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)
第15章芝諾悖論的數(shù)學(xué)終結(jié)
15.1可數(shù)無窮集合
15.2不平凡的可數(shù)集
15.3實(shí)數(shù)集合不可數(shù)
15.4遲到的榮耀
第16章給長(zhǎng)度一個(gè)交代
16.1長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)本質(zhì)
16.2升級(jí)版長(zhǎng)度
16.3勒貝格測(cè)度
第17章分析學(xué)的三條路徑和一種范式
17.1從有限到無窮
17.2從局部到整體
17.3以簡(jiǎn)單代替復(fù)雜
第18章歸結(jié)原則和兩個(gè)重要極限
18.1第一個(gè)重要極限：
18.2從數(shù)列過渡到函數(shù)
18.3第二個(gè)重要極限：
18.4“收斂速度”可以求出來嗎
18.5怎樣跑贏通貨膨脹
18.6第二個(gè)重要極限的證明
第19章連續(xù)性的陷阱
19.1狄利克雷函數(shù)
19.2無窮振蕩曲線
19.3不可求長(zhǎng)曲線
19.4魏爾斯特拉斯函數(shù)
第20章微分的前世今生
20.1切線與微分
20.2導(dǎo)數(shù)：差商的極限
20.3微分在今天的含義
20.4導(dǎo)數(shù)等于微商嗎
第21章自然的數(shù)學(xué)法則
21.1函數(shù)[ex]的特性
21.2指數(shù)函數(shù)與等角螺線
21.3自然界中的等角螺線
21.4等角螺線與地圖投影
第22章分割的藝術(shù)
22.1黎曼積分
22.2性質(zhì)與實(shí)用的平衡
22.3黎曼積分的性質(zhì)
22.4可積性判定準(zhǔn)則
22.5勒貝格積分
第23章微分與積分的統(tǒng)一
23.1面積如何求導(dǎo)
23.2變限積分：連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)
23.3牛頓-萊布尼茲公式
23.4增強(qiáng)版微積分基本定理
23.5微分中值定理與積分中值定理的統(tǒng)一
第24章多元函數(shù)的世界
24.1方向?qū)?shù)
24.2空間直線有斜率嗎
24.3偏導(dǎo)數(shù)——方向?qū)?shù)衍生品
24.4從切線到切平面
24.5梯度
24.6積分也有方向
24.7斯托克斯公式
第25章泰勒展開
25.1微分法
25.2密切法
25.3插值法
25.4冪級(jí)數(shù)的春天
第26章傅里葉展開
26.1最小二乘法
26.2正交投影法
26.3三角級(jí)數(shù)的魅力
第27章最小作用量原理
27.1光的折射定律
27.2笛卡兒的解釋
27.3費(fèi)馬最小時(shí)間原理
第28章最優(yōu)逼近——泰勒展開的第四張面孔
28.1局部與整體的再一次擁抱
28.2最優(yōu)逼近多項(xiàng)式
28.3逆矩陣的秘密
28.4最優(yōu)逼近多項(xiàng)式的極限
第29章最佳近似——超定方程組的現(xiàn)實(shí)選擇
29.1純代數(shù)的方案
29.2利用費(fèi)馬定理求極值點(diǎn)的方案
29.3造福人類的CT技術(shù)
第30章最小損失——人工智能的決策法門
30.1直線擬合的損失函數(shù)
30.2梯度下降
30.3梯度下降法的變體