數(shù)學橋：對高等數(shù)學的一次觀賞之旅

目 錄
第一章 數(shù)/1
1.1 計數(shù)/3
1.1.1 自然數(shù)/3
1.1.1.1 自然數(shù)的構造/3
1.1.1.2算術/5 1.1.2 整數(shù)/6
1.1.2.1 零和負整數(shù)的性質/7
1.1.3 有理數(shù)/8 1.1.4 序/9
1.1.4.1 使N，Z和Q有序/10
1.1.5 從一到無窮大/11
1.1.5.1 無窮集的比較/11
1.1.6 無窮算術/12
1.1.7 超越~/16 1.2 實數(shù)/19
1.2.1 怎樣產(chǎn)生無理數(shù)/20
1.2.2 有多少個實數(shù)/24
1.2.3 代數(shù)數(shù)和超越數(shù)/25
1.2.3.1 超越數(shù)的例子/27
1.2.4 連續(xù)統(tǒng)假設和更大的無窮大/28
1.3 復數(shù)及其高維同伴/31
1.3.1 復數(shù)i的發(fā)現(xiàn)/31
1.3.2 復平面/32
1.3.2.1 復數(shù)在幾何中的應用/34
1.3.3 棣莫弗定理/35
1.3.4 多項式和代數(shù)基本定理/36
1.3.4.1 多項式方程的求解/37
1.3.5 還有其他的數(shù)嗎/40
1.3.5.1 四元數(shù)/41
1.3.5.2 凱萊數(shù)/43 1.4 素數(shù)/44
1.4.1計算機、算法和數(shù)學/45
1.4.2 素數(shù)的性質/46
1.4.3 素數(shù)有多少個/48
1.4.3.1素數(shù)的分布/48
1.4.4 歐幾里得算法/49
1.4.4.1 歐幾里得算法的速度/50
1.4.4.2 連分數(shù)/51
1.4.5 貝祖引理和算術基本定理/53
1.5 模整數(shù)/57
1.5.1 模為素數(shù)的算術/57
1.5.1.1 一個關于素數(shù)的公式/58
1.5.1.2 費馬小定理/59
1.5.2 RSA密碼 /60
1.5.2.1 建立 RSA體制/62
1.5.2.2 一種RSA密碼體制/64
第2章 分析 /66
2.1 無窮極限/68
2.1.1 三個例子/68
2.1.1.1 阿基里斯和烏龜 /68
2.1.1.2 連續(xù)復合利率/70
2.1.1.3 方程的迭代解法/72
2.1.2 極限的數(shù)學描述/75
2.1.2.1 收斂的一般準則/78
2.1.3 極限應用于無窮和/79
2.1.3.1 一個例子∶幾何級數(shù)/79
2.2 無窮和的收斂與發(fā)散/81
2.2.1 調和級數(shù)/81
2.2.2 收斂判別法/82
2.2.2.1 比較判別法/82
2.2.2.2 交錯級數(shù)判別法/84
2.2.2.3 絕對收斂/85
2.2.2.4 比率判別法/85
2.2.3 冪級數(shù)及其收斂半徑/87
2.2.3.1 確定收斂半徑/89
2.2.4 無窮級數(shù)的重新排列/89
2.3 實函數(shù)/92
2.3.1 實值函數(shù)的極限/92
2.3.2 連續(xù)函數(shù)/94 2.3.3 微分/97
2.3.3.1 例子/99
2.3.3.2 微分中值定理/102
2.3.3.3 洛必達法則/105
2.3.4 面積與積分/106
2.3.5 微積分基本定理/108
2.4 對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)以及 e/111
2.4.1 Inx的定義/111
2.4.2 expx的定義/114
2.4.3 歐拉數(shù)e/116
2.4.3.1 e的無理性/119
2.5 冪級數(shù)/121
2.5.1 泰勒級數(shù)/123
2.5.1.1 作為警示的例子/126
2.5.1.2 實函數(shù)的復擴張/126
2.6 T與分析學觀點下的三角學/128
2.6.1 角度與扇形面積/128
2.6.1.1 π的一個級數(shù)展開式/131
2.6.2 正切、正弦和余弦/132
2.6.2.1 用冪級數(shù)定義 sinx和cosx/134
2.6.3 傅里葉級數(shù)/136
2.7 復函數(shù)/140
2.7.1 指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)/140
2.7.2 復函數(shù)的幾個基本性質/141
2.7.3 對數(shù)函數(shù)及多值函數(shù)/142
2.7.4 復數(shù)器/143