實(shí)分析（英文版 原書(shū)第4版）

第一部分　一元實(shí)變量函數(shù)的Lebesgue積分
第0章　集合、映射與關(guān)系的預(yù)備知識(shí) 3
0.1　集合的并與交 3
0.2　集合間的映射 4
0.3　等價(jià)關(guān)系、選擇公理以及Zorn引理 5
第1章　實(shí)數(shù)集：集合、序列與函數(shù) 7
1.1　域、正性以及完備性公理 7
1.2　自然數(shù)與有理數(shù) 11
1.3　可數(shù)集與不可數(shù)集 13
1.4　實(shí)數(shù)的開(kāi)集、閉集和Borel集 16
1.5　實(shí)數(shù)序列 20
1.6　實(shí)變量的連續(xù)實(shí)值函數(shù) 25
第2章　Lebesgue測(cè)度 29
2.1　引言 29
2.2　Lebesgue外測(cè)度 31
2.3　Lebesgue可測(cè)集的代數(shù) 34
2.4　Lebesgue可測(cè)集的外逼近和內(nèi)逼近 40
2.5　可數(shù)可加性、連續(xù)性以及Borel-Cantelli引理 43
2.6　不可測(cè)集 47
2.7　Cantor集和Cantor-Lebesgue函數(shù) 49
第3章　Lebesgue可測(cè)函數(shù) 54
3.1　和、積與復(fù)合 54
3.2　序列的逐點(diǎn)極限與簡(jiǎn)單逼近 60
3.3　Littlewood的三個(gè)原理、Egoroff定理以及Lusin定理 64
第4章　Lebesgue積分 68
4.1　Riemann積分 68
4.2　有限測(cè)度集上的有界可測(cè)函數(shù)的
　Lebesgue積分 71
4.3　非負(fù)可測(cè)函數(shù)的Lebesgue積分 79
4.4　一般的Lebesgue積分 85
4.5　積分的可數(shù)可加性與連續(xù)性 90
4.6　一致可積性：Vitali收斂定理 92
第5章　Lebesgue積分：深入課題 97
5.1　一致可積性和緊性：一般的Vitali收斂定理 97
5.2　依測(cè)度收斂 99
5.3　Riemann可積與Lebesgue可積的刻畫(huà) 102
第6章　微分與積分 107
6.1　單調(diào)函數(shù)的連續(xù)性 108
6.2　單調(diào)函數(shù)的可微性：Lebesgue定理 109
6.3　有界變差函數(shù)：Jordan定理 116
6.4　絕對(duì)連續(xù)函數(shù) 119
6.5　導(dǎo)數(shù)的積分：微分不定積分 124
6.6　凸函數(shù) 130
第7章　Lp空間：完備性與逼近 135
7.1　賦范線(xiàn)性空間 135
7.2　Young、H鰈der與Minkowski不等式 139
7.3　Lp是完備的：Riesz-Fischer定理 144
7.4　逼近與可分性 150
第8章　Lp空間：對(duì)偶與弱收斂 155
8.1　關(guān)于Lp（1≤p＜∞）的對(duì)偶的Riesz表示定理 155
8.2　Lp中的弱序列收斂 162
8.3　弱序列緊性 171
8.4　凸泛函的最小化 174
第二部分　抽象空間：度量空間、
拓?fù)淇臻g、Banach空間
和Hilbert空間
第9章　度量空間：一般性質(zhì) 183
9.1　度量空間的例子 183
9.2　開(kāi)集、閉集以及收斂序列 187
9.3　度量空間之間的連續(xù)映射 190
9.4　完備度量空間 193
9.5　緊度量空間 197
9.6　可分度量空間 204
第10章　度量空間：三個(gè)基本定理 206
10.1　Arzelà-Ascoli定理 206
10.2　Baire范疇定理 211
10.3　Banach壓縮原理 215
第11章　拓?fù)淇臻g：一般性質(zhì) 222
11.1　開(kāi)集、閉集、基和子基 222
11.2　分離性質(zhì) 227
11.3　可數(shù)性與可分性 228
11.4　拓?fù)淇臻g之間的連續(xù)映射 230
11.5　緊拓?fù)淇臻g 233
11.6　連通的拓?fù)淇臻g 237
第12章　拓?fù)淇臻g：三個(gè)基本定理 239
12.1　Urysohn引理和Tietze延拓定理 239
12.2　Tychonoff乘積定理 244
12.3　Stone-Weierstrass定理 247
第13章　Banach空間之間的連續(xù)線(xiàn)性算子 253
13.1　賦范線(xiàn)性空間 253
13.2　線(xiàn)性算子 256
13.3　緊性喪失：無(wú)窮維賦范線(xiàn)性空間 259
13.4　開(kāi)映射與閉圖像定理 263
13.5　一致有界原理 268
第14章　賦范線(xiàn)性空間的對(duì)偶 271
14.1　線(xiàn)性泛函、有界線(xiàn)性泛函以及弱拓?fù)?271
14.2　Hahn-Banach定理 277
14.3　自反Banach空間與弱序列
　收斂性 282
14.4　局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g 286
14.5　凸集的分離與Mazur定理 290
14.6　Krein-Milman定理 295
第15章　重新得到緊性：弱拓?fù)?298
15.1　Helly定理的Alaoglu推廣 298
15.2　自反性與弱緊性：Kakutani定理 300
15.3　緊性與弱序列緊性：Eberlein-mulian定理 302
15.4　弱拓?fù)涞亩攘炕?305
第16章　Hilbert空間上的連續(xù)線(xiàn)性算子 308
16.1　內(nèi)積和正交性 309
16.2　對(duì)偶空間和弱序列收斂 313
16.3　Bessel不等式與規(guī)范正交基 316
16.4　線(xiàn)性算子的伴隨與對(duì)稱(chēng)性 319
16.5　緊算子 324
16.6　Hilbert-Schmidt定理 326
16.7　Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻畫(huà) 329
第三部分　測(cè)度與積分：一般理論
第17章　一般測(cè)度空間：性質(zhì)與構(gòu)造 337
17.1　測(cè)度與可測(cè)集 337
17.2　帶號(hào)測(cè)度：Hahn與Jordan分解 342
17.3　外測(cè)度誘導(dǎo)的Carathéodory測(cè)度 346
17.4　外測(cè)度的構(gòu)造 349
17.5　將預(yù)測(cè)度延拓為測(cè)度：Carathéodory-Hahn定理 352
第18章　一般測(cè)度空間上的積分 359
18.1　可測(cè)函數(shù) 359
18.2　非負(fù)可測(cè)函數(shù)的積分 365
18.3　一般可測(cè)函數(shù)的積分 372
18.4　Radon-Nikodym定理 381
18.5　Nikodym度量空間：Vitali-Hahn-Saks定理 388
第19章　一般的Lp空間：完備性、對(duì)偶性和弱收斂性 394
19.1　Lp(X, )（1≤p≤∞）的完備性 394
19.2　關(guān)于Lp(X, )（1≤p
19.3　關(guān)于L∞(X, )的對(duì)偶的Kantorovitch表示定理 404
19.4　Lp(X, )（1＜p＜∞）的弱序列緊性 407
19.5　L1(X, )的弱序列緊性：Dunford-Pettis定理 409
第20章　特定測(cè)度的構(gòu)造 414
20.1　乘積測(cè)度：Fubini與Tonelli定理 414
20.2　歐氏空間Rn上的Lebesgue測(cè)度 424
20.3　累積分布函數(shù)與Borel測(cè)度 437
20.4　度量空間上的Carathéodory外測(cè)度與Hausdorff測(cè)度 441
第21章　測(cè)度與拓?fù)?446
21.1　局部緊拓?fù)淇臻g 447
21.2　集合分離與函數(shù)延拓 452
21.3　Radon測(cè)度的構(gòu)造 454
21.4　Cc(X)上的正線(xiàn)性泛函的表示：Riesz-Markov定理 457
21.5　C（X）的對(duì)偶的表示：Riesz-Kakutani表示定理 462
21.6　Baire測(cè)度的正則性 470
第22章　不變測(cè)度 477
22.1　拓?fù)淙海阂话憔€(xiàn)性群 477
22.2　Kakutani不動(dòng)點(diǎn)定理 480
22.3　緊群上的不變Borel測(cè)度：von Neumann定理 485
22.4　測(cè)度保持變換與遍歷性：Bogoliubov-Krilov定理 488
參考文獻(xiàn) 495