數(shù)學分析講義（第三冊）

目錄
致讀者
第12章 曲線積分、曲面積分與場論初步 1
§12.1 第一型曲線積分與第一型曲面積分 1
§12.1.1 第一型曲線積分 1
§12.1.2 第一型曲面積分 6
§12.2 第二型曲線積分與第二型曲面積分 10
§12.2.1 第二型曲線積分 10
§12.2.2 第二型曲面積分 15
§12.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 24
§12.3.1 Green公式 24
§12.3.2 曲線積分與路徑無關的條件 29
§12.3.3 Gauss公式 33
§12.3.4 Stokes公式 36
§12.4 場論初步 46
§12.4.1 場的概念 46
§12.4.2 數(shù)量場的等值面和梯度場 47
§12.4.3 向量場的通量與散度 48
§12.4.4 向量場的環(huán)量與旋度 50
§12.4.5 管量場與有勢場 52
§12.4.6 Hamilton算子 53
第13章 反常積分 56
§13.1 反常積分的概念和計算 56
§13.1.1 反常積分的概念 56
§13.1.2 反常積分的性質與計算 61
§13.1.3 反常積分的Cauchy主值 64
§13.2 反常積分的收斂判別法 67
§13.2.1 無窮區(qū)間上的反常積分的收斂判別法 67
§13.2.2 瑕積分的收斂判別法 75
§13.3 反常重積分 80
§13.3.1 無窮反常重積分 80
§13.3.2 無界函數(shù)的反常二重積分 89
第14章 含參變量積分 93
§14.1 含參變量的常義積分 93
§14.1.1 含參變量積分的概念 93
§14.1.2 含參變量的常義積分所定義的函數(shù)的分析性質 94
§14.2 含參變量的反常積分 101
§14.2.1 含參變量的反常積分的一致收斂性 102
§14.2.2 含參變量反常積分一致收斂性的判別 103
§14.2.3 一致收斂積分的分析性質 109
§14.3 Euler積分 117
§14.3.1 Beta函數(shù) 117
§14.3.2 Gamma函數(shù) 119
§14.3.3 Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關系 122
§14.3.4 Euler公式的拓展：Legendre公式、余元公式和Stirling公式 124
第15章 數(shù)項級數(shù) 127
§15.1 數(shù)項級數(shù)的收斂性 128
§15.1.1 數(shù)項級數(shù)的概念 128
§15.1.2 級數(shù)Cauchy收斂原理 129
§15.2 正項級數(shù) 133
§15.2.1 Cauchy判別法(或根式判別法(root test)) 133
§15.2.2 D'Alembert判別法(或比式判別法(ratio test)) 134
§15.2.3 積分判別法(integral test) 135
§15.2.4 Raabe判別法 138
§15.2.5 其他一些判別法 139
§15.3 任意項級數(shù) 141
§15.3.1 交錯級數(shù)與Leibniz判別法 141
§15.3.2 Abel判別法與Dirichlet判別法 143
§15.3.3 級數(shù)的絕對收斂與條件收斂 146
§15.3.4 級數(shù)的重排 147
§15.3.5 級數(shù)的乘法 151
§15.4 無窮乘積 156
§15.4.1 無窮乘積定義 156
§15.4.2 無窮乘積的性質 159
§15.4.3 無窮乘積與無窮級數(shù)的轉化 160
§15.4.4 絕對收斂 161
第16章 函數(shù)項級數(shù) 164
§16.1 點態(tài)收斂和一致收斂 164
§16.1.1 點態(tài)收斂與收斂域 164
§16.1.2 函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列的基本問題 165
§16.1.3 一致收斂的定義 167
§16.1.4 函數(shù)列一致收斂與非一致收斂的判別 168
§16.2 級數(shù)一致收斂性的判別與一致收斂級數(shù)的性質 175
§16.2.1 函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判別 175
§16.2.2 一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質 180
§16.3 冪級數(shù) 188
§16.3.1 冪級數(shù)的收斂域 189
§16.3.2 冪級數(shù)的性質 192
§16.3.3 Taylor級數(shù)與余項公式 195
§16.3.4 初等函數(shù)的冪級數(shù)展開 199
第17章 Fourier級數(shù) 208
§17.1 函數(shù)的Fourier級數(shù)展開 209
§17.1.1 平方可積函數(shù)空間與正交函數(shù)系 209
§17.1.2 周期為2π的函數(shù)的Fourier展開 211
§17.1.3 正弦級數(shù)和余弦級數(shù) 214
§17.1.4 任意周期的函數(shù)的Fourier展開 217
§17.2 Fourier級數(shù)的收斂判別法 218
§17.2.1 Dirichlet積分 219
§17.2.2 Riemann引理及其推論 220
§17.2.3 Fourier級數(shù)的收斂判別法 223
§17.3 Fourier級數(shù)的性質 228
§17.3.1 Fourier級數(shù)的分析性質 228
§17.3.2 Fourier級數(shù)的平方逼近性質 230
§17.4 Fourier變換 234
§17.4.1 Fourier積分 234
§17.4.2 Fourier變換及其逆變換 237
§17.4.3 Fourier變換的性質 239
參考文獻 243
附錄 數(shù)學分析III試卷 244
索引 251