數(shù)學(xué)分析講義（第三冊(cè)）

目錄
致讀者
第12章 曲線積分、曲面積分與場(chǎng)論初步 1
§12.1 第一型曲線積分與第一型曲面積分 1
§12.1.1 第一型曲線積分 1
§12.1.2 第一型曲面積分 6
§12.2 第二型曲線積分與第二型曲面積分 10
§12.2.1 第二型曲線積分 10
§12.2.2 第二型曲面積分 15
§12.3 Green公式、Gauss公式和Stokes公式 24
§12.3.1 Green公式 24
§12.3.2 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件 29
§12.3.3 Gauss公式 33
§12.3.4 Stokes公式 36
§12.4 場(chǎng)論初步 46
§12.4.1 場(chǎng)的概念 46
§12.4.2 數(shù)量場(chǎng)的等值面和梯度場(chǎng) 47
§12.4.3 向量場(chǎng)的通量與散度 48
§12.4.4 向量場(chǎng)的環(huán)量與旋度 50
§12.4.5 管量場(chǎng)與有勢(shì)場(chǎng) 52
§12.4.6 Hamilton算子 53
第13章 反常積分 56
§13.1 反常積分的概念和計(jì)算 56
§13.1.1 反常積分的概念 56
§13.1.2 反常積分的性質(zhì)與計(jì)算 61
§13.1.3 反常積分的Cauchy主值 64
§13.2 反常積分的收斂判別法 67
§13.2.1 無(wú)窮區(qū)間上的反常積分的收斂判別法 67
§13.2.2 瑕積分的收斂判別法 75
§13.3 反常重積分 80
§13.3.1 無(wú)窮反常重積分 80
§13.3.2 無(wú)界函數(shù)的反常二重積分 89
第14章 含參變量積分 93
§14.1 含參變量的常義積分 93
§14.1.1 含參變量積分的概念 93
§14.1.2 含參變量的常義積分所定義的函數(shù)的分析性質(zhì) 94
§14.2 含參變量的反常積分 101
§14.2.1 含參變量的反常積分的一致收斂性 102
§14.2.2 含參變量反常積分一致收斂性的判別 103
§14.2.3 一致收斂積分的分析性質(zhì) 109
§14.3 Euler積分 117
§14.3.1 Beta函數(shù) 117
§14.3.2 Gamma函數(shù) 119
§14.3.3 Beta函數(shù)與Gamma函數(shù)的關(guān)系 122
§14.3.4 Euler公式的拓展：Legendre公式、余元公式和Stirling公式 124
第15章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 127
§15.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性 128
§15.1.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 128
§15.1.2 級(jí)數(shù)Cauchy收斂原理 129
§15.2 正項(xiàng)級(jí)數(shù) 133
§15.2.1 Cauchy判別法(或根式判別法(root test)) 133
§15.2.2 D'Alembert判別法(或比式判別法(ratio test)) 134
§15.2.3 積分判別法(integral test) 135
§15.2.4 Raabe判別法 138
§15.2.5 其他一些判別法 139
§15.3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù) 141
§15.3.1 交錯(cuò)級(jí)數(shù)與Leibniz判別法 141
§15.3.2 Abel判別法與Dirichlet判別法 143
§15.3.3 級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂 146
§15.3.4 級(jí)數(shù)的重排 147
§15.3.5 級(jí)數(shù)的乘法 151
§15.4 無(wú)窮乘積 156
§15.4.1 無(wú)窮乘積定義 156
§15.4.2 無(wú)窮乘積的性質(zhì) 159
§15.4.3 無(wú)窮乘積與無(wú)窮級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)化 160
§15.4.4 絕對(duì)收斂 161
第16章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 164
§16.1 點(diǎn)態(tài)收斂和一致收斂 164
§16.1.1 點(diǎn)態(tài)收斂與收斂域 164
§16.1.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列的基本問(wèn)題 165
§16.1.3 一致收斂的定義 167
§16.1.4 函數(shù)列一致收斂與非一致收斂的判別 168
§16.2 級(jí)數(shù)一致收斂性的判別與一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì) 175
§16.2.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別 175
§16.2.2 一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì) 180
§16.3 冪級(jí)數(shù) 188
§16.3.1 冪級(jí)數(shù)的收斂域 189
§16.3.2 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 192
§16.3.3 Taylor級(jí)數(shù)與余項(xiàng)公式 195
§16.3.4 初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 199
第17章 Fourier級(jí)數(shù) 208
§17.1 函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi) 209
§17.1.1 平方可積函數(shù)空間與正交函數(shù)系 209
§17.1.2 周期為2π的函數(shù)的Fourier展開(kāi) 211
§17.1.3 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 214
§17.1.4 任意周期的函數(shù)的Fourier展開(kāi) 217
§17.2 Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法 218
§17.2.1 Dirichlet積分 219
§17.2.2 Riemann引理及其推論 220
§17.2.3 Fourier級(jí)數(shù)的收斂判別法 223
§17.3 Fourier級(jí)數(shù)的性質(zhì) 228
§17.3.1 Fourier級(jí)數(shù)的分析性質(zhì) 228
§17.3.2 Fourier級(jí)數(shù)的平方逼近性質(zhì) 230
§17.4 Fourier變換 234
§17.4.1 Fourier積分 234
§17.4.2 Fourier變換及其逆變換 237
§17.4.3 Fourier變換的性質(zhì) 239
參考文獻(xiàn) 243
附錄 數(shù)學(xué)分析III試卷 244
索引 251