數學分析講義（第二冊）

目錄
致讀者
第7章 Euclid空間Rn 1
§7.1 實數連續(xù)性(續(xù)) 1
§7.2 數列的上極限與下極限 4
§7.2.1 數列的上極限與下極限的定義 4
§7.2.2 上極限與下極限的運算性質 8
§7.2.3 上、下極限的等價定義 10
§7.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質(續(xù)) 13
§7.3.1 閉區(qū)間上連續(xù)函數定理(續(xù)) 13
§7.3.2 一致連續(xù)(續(xù)) 13
§7.4 Euclid空間Rn及其子集 18
§7.4.1 Euclid空間Rn 18
§7.4.2 Euclid空間Rn中點列的收斂 20
§7.4.3 Euclid空間Rn中的有界集、開集與閉集 21
§7.5 Euclid空間Rn的連續(xù)性 25
§7.5.1 閉區(qū)域套定理、致密性定理與Cauchy收斂準則 25
§7.5.2 緊集與道路連通集 26
第8章 定積分 29
§8.1 定積分的基本概念 29
§8.1.1 定積分概念的導出背景 29
§8.1.2 定積分的定義 31
§8.1.3 可積條件 33
§8.2 定積分的基本性質與微積分基本定理 34
§8.2.1 定積分的基本性質 34
§8.2.2 微積分基本定理 36
§8.2.3 Newton-Leibniz公式 38
§8.3 定積分的分部積分法和換元積分法 41
§8.3.1 分部積分法 41
§8.3.2 換元積分法 42
§8.3.3 其他方法 44
§8.4 定積分的應用 48
§8.4.1 定積分在幾何學中的應用 48
§8.4.2 定積分在物理學中的應用 59
§8.5 可積性理論 63
§8.5.1 Darboux和及其性質 64
§8.5.2 可積的充要條件 67
§8.5.3 定積分的性質(續(xù)) 70
§8.6 微積分的幾點注記 77
§8.7 定積分的數值計算 82
§8.7.1 數值積分的基本思想——定積分的近似計算 82
§8.7.2 復化求積公式 84
第9章 多元函數的極限和連續(xù) 85
§9.1 多元函數 85
§9.2 多元函數的極限 88
§9.2.1 多元函數的極限概念 88
§9.2.2 累次極限 90
§9.3 多元函數連續(xù)性 93
§9.3.1 多元函數連續(xù)性的概念及局部性質 93
§9.3.2 向量值函數的極限與連續(xù) 95
§9.3.3 連續(xù)映射的全局性質 96
第10章 多元函數的微分學 100
§10.1 全微分與偏導數 100
§10.1.1 可微與導數 100
§10.1.2 可偏導與偏導數 102
§10.1.3 方向導數 105
§10.1.4 高階偏導數 108
§10.1.5 高階微分 111
§10.1.6 向量值函數的導數與微分 112
§10.2 多元復合函數的求導法則 115
§10.2.1 求復合函數的偏導數的鏈式法則 116
§10.2.2 復合函數的微分與一階全微分的形式不變性 119
§10.3 中值定理與Taylor公式 122
§10.3.1 中值定理 123
§10.3.2 Taylor公式 124
§10.4 隱函數 126
§10.4.1 隱函數的概念 127
§10.4.2 隱函數定理 128
§10.4.3 由方程組確定的向量值隱函數定理 133
§10.4.4 逆映射定理 137
§10.5 偏導數在幾何中的應用 143
§10.5.1空間曲線的切線與法平面 143
§10.5.2 曲面的切平面與法線 146
§10.6 無條件極值 151
§10.6.1 無條件極值 151
§10.6.2 多元函數的最值 154
§10.6.3 最小二乘法 155
§10.7 條件極值問題與Lagrange乘數法 158
第11章 重積分 168
§11.1 重積分的概念 168
§11.1.1 一般平面圖形的面積 169
§11.1.2 二重積分的概念與可積性 172
§11.1.3 n重積分 174
§11.1.4 重積分的性質 175
§11.2 重積分的計算——化為累次積分 178
§11.2.1 矩形區(qū)域上重積分的計算 178
§11.2.2 一般區(qū)域上重積分的計算 181
§11.3 重積分的變量代換 188
§11.3.1 二重積分的變量代換 188
§11.3.2 n重積分的變量代換 192
§11.4 重積分的應用 200
§11.4.1 曲面面積 200
§11.4.2 重積分的物理應用 204
參考文獻 208
附錄 數學分析Ⅱ試卷 209
索引 215