薛定宇教授大講堂：MATLAB線性代數(shù)運算（卷Ⅲ）

目　錄
CONTENTS
第 1章線性代數(shù)簡介 · 1
1.1矩陣與線性方程組 1
1.1.1表格的矩陣表示 1
1.1.2線性方程組的建立與求解 3
1.2線性代數(shù)發(fā)展簡介 8
1.2.1線性代數(shù)數(shù)學理論 8
1.2.2數(shù)值線性代數(shù) 10本章習題 12第 2章矩陣的表示與基本運算 13
2.1一般矩陣的輸入方法 13
2.2特殊矩陣的輸入方法 14
2.2.1零矩陣、幺矩陣及單位矩陣 · 15
2.2.2隨機元素矩陣 15
2.2.3 Hankel矩陣 · 17
2.2.4對角元素矩陣 18
2.2.5 Hilbert矩陣及 Hilbert逆矩陣 20
2.2.6相伴矩陣 · 21
2.2.7 Wilkinson矩陣 · 21
2.2.8 Vandermonde矩陣 22
2.2.9一些常用的測試矩陣 23
2.3符號型矩陣的輸入方法 24
2.3.1特殊符號矩陣的輸入方法 24
2.3.2任意常數(shù)矩陣的輸入 24
2.3.3任意矩陣函數(shù)的輸入 25
2.4稀疏矩陣的輸入 · 26
2.5矩陣的基本運算 · 29
2.5.1復數(shù)矩陣的處理 29
·iv·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數(shù)運算
2.5.2矩陣的轉置與旋轉 30
2.5.3矩陣的代數(shù)運算 31
2.5.4矩陣的 Kronecker乘積與 Kronecker和 · 36
2.6矩陣函數(shù)的微積分運算 37
2.6.1矩陣函數(shù)的導數(shù) 37
2.6.2矩陣函數(shù)的積分 38
2.6.3向量函數(shù)的 Jacobi矩陣 39
2.6.4 Hesse矩陣 39本章習題 40
第 3章矩陣基本分析 · 43
3.1行列式 · 43
3.1.1行列式的定義與性質 43
3.1.2低階矩陣的行列式計算 44
3.1.3行列式計算問題的 MATLAB求解 47
3.1.4任意階特殊矩陣的行列式計算· 50
3.1.5線性方程組的 Cramer法則 · 51
3.1.6正矩陣與完全正矩陣 52
3.2矩陣的簡單分析 · 53
3.2.1矩陣的跡 · 54
3.2.2線性無關與矩陣的秩 54
3.2.3矩陣的范數(shù) · 56
3.2.4向量空間 · 58
3.3逆矩陣與廣義逆矩陣 59
3.3.1矩陣的逆矩陣 59
3.3.2逆矩陣的導函數(shù) 60
3.3.3 MATLAB提供的矩陣求逆函數(shù) 61
3.3.4簡化的行階梯型矩陣 63
3.3.5矩陣的廣義逆 65
3.4特征多項式與特征值 67
3.4.1矩陣的特征多項式 67
3.4.2多項式方程的求根 69
3.4.3一般矩陣的特征值與特征向量· 70
3.4.4矩陣的廣義特征向量問題 73
3.4.5 Gershgorin圓盤與對角占優(yōu)矩陣 · 75 3.5矩陣多項式 · 76
3.5.1矩陣多項式的求解 76
3.5.2矩陣的最小多項式 78
3.5.3符號多項式與數(shù)值多項式的轉換 · 78本章習題 80
第 4章矩陣的基本變換與分解 83
4.1相似變換與正交矩陣 83
4.1.1相似變換 · 83
4.1.2正交矩陣與正交基 84
4.2初等行變換 · 85
4.2.1三種初等行變換方法 86
4.2.2用初等行變換的方法求逆矩陣· 88
4.2.3主元素方法求逆矩陣 89
4.3矩陣的三角分解 · 90
4.3.1線性方程組的 Gauss消去法 · 90
4.3.2一般矩陣的三角分解算法與實現(xiàn) · 91
4.3.3 MATLAB三角分解函數(shù) · 92
4.4矩陣的 Cholesky分解 94
4.4.1對稱矩陣的 Cholesky分解 94
4.4.2對稱矩陣的二次型表示 95
4.4.3正定矩陣與正規(guī)矩陣 96
4.4.4非正定矩陣的 Cholesky分解 97
4.5相伴變換與 Jordan變換 98
4.5.1一般矩陣變換成相伴矩陣 98
4.5.2矩陣的對角化 99
4.5.3矩陣的 Jordan變換 · 100
4.5.4復特征值矩陣的實 Jordan分解 101
4.5.5正定矩陣的同時對角化 103
4.6奇異值分解 · 104
4.6.1奇異值與條件數(shù) 104
4.6.2長方形矩陣的奇異值分解 106
4.6.3基于奇異值分解的同時對角化· 106
4.7 Givens變換與 Householder變換 · 107
4.7.1二維坐標的旋轉變換 107
4.7.2一般矩陣的 Givens變換 109
·vi·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數(shù)運算
4.7.3 Householder變換 · 111本章習題 112
第 5章矩陣方程求解 · 115
5.1線性方程組 · 115
5.1.1唯一解的求解 116
5.1.2方程無窮解的求解與構造 119
5.1.3矛盾方程的求解 122
5.1.4線性方程解的幾何解釋 122
5.2其他形式的簡單線性方程組 124
5.2.1方程 XA = B的求解 · 124
5.2.2方程 AXB = C的求解 125
5.2.3基于 Kronecker乘積的方程解法 127
5.2.4多項方程 AXB = C的求解 127
5.3 Lyapunov方程· 128
5.3.1連續(xù) Lyapunov方程 · 128

5.3.2二階 Lyapunov方程的 Kronecker乘積表示 · 130
5.3.3一般 Lyapunov方程的解析解 130
5.3.4 Stein方程的求解 · 131
5.3.5離散 Lyapunov方程 · 132
5.4 Sylvester方程 · 133
5.4.1 Sylvester方程的數(shù)學形式與數(shù)值解 · 133
5.4.2 Sylvester方程的解析求解 133
5.4.3含參數(shù) Sylvester方程的解析解 136
5.4.4多項 Sylvester方程的求解 136
5.5非線性矩陣方程 · 137
5.5.1 Riccati代數(shù)方程 · 137
5.5.2一般多解非線性矩陣方程的數(shù)值求解 · 138
5.5.3變形 Riccati方程的求解 142
5.5.4一般非線性矩陣方程的數(shù)值求解 · 143
5.6多項式方程的求解 144
5.6.1多項式互質 · 144
5.6.2 Diophantine多項式方程 145
5.6.3偽多項式方程求根 147本章習題 148 第 6章矩陣函數(shù) · 151
6.1矩陣元素的非線性運算 152
6.1.1數(shù)據(jù)的取整與有理化運算 152
6.1.2超越函數(shù)計算命令 153
6.1.3向量的排序、最大值與最小值 156
6.1.4數(shù)據(jù)的均值、方差與標準差 · 156
6.2矩陣指數(shù)函數(shù)計算 157
6.2.1矩陣函數(shù)的定義與性質 157
6.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)的運算 158
6.2.3基于 Taylor冪級數(shù)的截斷算法· 158


6.2.4基于 Cayley–Hamilton定理的計算 160
6.2.5 MATLAB的直接計算函數(shù) 161
6.2.6基于 Jordan變換的求解方法 162
6.3矩陣的對數(shù)與平方根函數(shù)計算 163
6.3.1矩陣的對數(shù)運算 163
6.3.2矩陣的平方根運算 164
6.4矩陣的三角函數(shù)運算 165
6.4.1矩陣的三角函數(shù)運算 165
6.4.2基于冪級數(shù)展開的矩陣三角函數(shù)計算 · 166
6.4.3矩陣三角函數(shù)的解析求解 167
6.5一般矩陣函數(shù)的運算 169
6.5.1冪零矩陣 · 169
6.5.2基于 Jordan變換的矩陣函數(shù)運算 170
6.5.3矩陣自定義函數(shù)的運算 173
6.6矩陣的乘方運算 · 174
6.6.1基于 Jordan變換的矩陣乘方運算 174
6.6.2通用乘方函數(shù)的編寫 175
6.6.3基于 z變換的矩陣乘方計算 · 176
6.6.4計算矩陣乘方 kA · 177本章習題 178
第 7章線性代數(shù)的應用 180
7.1線性方程組的應用 180
7.1.1電路網(wǎng)絡分析 180
7.1.2結構平衡的分析方法 186
7.1.3化學反應方程式配平 186
·viii·薛定宇教授大講堂（卷 III）：MATLAB線性代數(shù)運算
7.2線性控制系統(tǒng)中的應用 188
7.2.1控制系統(tǒng)的模型轉換 189
7.2.2線性系統(tǒng)的定性分析 190
7.2.3多變量系統(tǒng)的傳輸零點 192
7.2.4線性微分方程的直接求解 192
7.3數(shù)字圖像處理應用簡介 193
7.3.1圖像的讀入與顯示 194
7.3.2矩陣的奇異值分解 195
7.3.3圖像幾何尺寸變換與旋轉 196
7.3.4圖像增強 · 198
7.4圖論與應用 · 200
7.4.1有向圖的描述 201
7.4.2 Dijkstra最短路徑算法及實現(xiàn) · 202
7.4.3控制系統(tǒng)方框圖化簡 205
7.5差分方程求解 · 208
7.5.1一般差分方程的解析解方法· 209
7.5.2線性時變差分方程的數(shù)值解方法 · 210
7.5.3線性時不變差分方程的解法· 212
7.5.4一般非線性差分方程的數(shù)值解方法 · 213
7.5.5 Markov鏈的仿真 · 214
7.6數(shù)據(jù)擬合與分析 · 215
7.6.1線性回歸 · 216
7.6.2多項式擬合 · 217
7.6.3 Chebyshev多項式 219
7.6.4 Bézier曲線 221
7.6.5主成分方法 · 223本章習題 225參考文獻· 231
MATLAB函數(shù)名索引 · 233術語索引· 237
線性代數(shù)簡介