力學(xué)與工程問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模

前言　
主要符號(hào)說(shuō)明　
第一章　概論　
　1.1　分?jǐn)?shù)階微積分的歷史　
　1.2　分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程的幾何和物理解釋　
　　1.2.1　任意頻率依賴的能量耗散過(guò)程　
　　1.2.2　分形描述和冪律現(xiàn)象　
　　1.2.3　反常擴(kuò)散　
　　1.2.4　復(fù)雜材料本構(gòu)關(guān)系　
　　1.2.5　分?jǐn)?shù)階薛定諤方程　
　1.3　科學(xué)和工程應(yīng)用　
　參考文獻(xiàn)　
第二章　分?jǐn)?shù)階微積分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)　
　2.1　分?jǐn)?shù)階微積分的定義　
　　2.1.1　riemann-liouville定義　
　　2.1.2　caputo定義　
　　2.1.3　grtinwald-letnikov定義　
　　2.1.4　空間分?jǐn)?shù)階拉普拉斯算子的riesz定義　
　2.2　分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)　
　　2.2.1　riemann-liouville算子的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)　
　　2.2.2　常見函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分　
　　2.2.3　不同定義的關(guān)系　
　2.3　分?jǐn)?shù)階微積分的傅里葉與拉普拉斯變換　
　　2.3.1　分?jǐn)?shù)階微積分的?里葉變換　
　　2.3.2　分?jǐn)?shù)階微積分的拉普拉斯變換　
　2.4　求解分?jǐn)?shù)階微分方程的解析方法　
　　2.4.1　積分變換方法　
　　2.4.2　格林函數(shù)法　
　　2.4.3　adomian分解法　
　　2.4.4　同倫函數(shù)法　
　　2.4.5　其他迭代方法　
　2.5　問(wèn)題及討論　
　　2.5.1　分形導(dǎo)數(shù)、正定分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)、變導(dǎo)數(shù)和隨機(jī)導(dǎo)數(shù)　
　　2.5.2　空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的討論　
　　2.5.3　分?jǐn)?shù)階微積分的幾何和物理解釋的討論　
　參考文獻(xiàn)　
第三章　分形幾何與分?jǐn)?shù)階微積分　
　3.1　分形簡(jiǎn)介及其應(yīng)用　
　　3.1.1　簡(jiǎn)單的分形幾何　
　　3.1.2　分形的基本性質(zhì)　
　　3.1.3　分形維數(shù)的測(cè)量　
　　3.1.4　分形的應(yīng)用　
　3.2　分形與分?jǐn)?shù)階微積分的聯(lián)系　
　　3.2.1　一類分形函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分　
　　3.2.2　分形函數(shù)的維數(shù)與其分?jǐn)?shù)階微積分階數(shù)的關(guān)系　
　　3.2.3　分?jǐn)?shù)階微積分在描述分形介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系中的應(yīng)用　
　　3.2.4　分形介質(zhì)中的分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)方程　
　參考文獻(xiàn)　
第四章　分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散模型、非常規(guī)統(tǒng)計(jì)分布和隨機(jī)過(guò)程　
　4.1　分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)反常擴(kuò)散方程　
　　4.1.1　反常擴(kuò)散問(wèn)題的統(tǒng)計(jì)描述　
　　4.1.2　分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程　
　　4.1.3　分?jǐn)?shù)階fick定律　
　　4.1.4　分?jǐn)?shù)階對(duì)流與擴(kuò)散方程　
　4.2　湍流粒子加速度分布的統(tǒng)計(jì)模型　
　　4.2.1　現(xiàn)有的模型　
　　4.2.2　冪律—擴(kuò)展高斯聯(lián)合分布模型　
　　4.2.3　比較與討論　
　4.3　levy穩(wěn)態(tài)分布　
　　4.3.1　一般形式下的levy分布　
　　4.3.2　在x＞0情形下的levy分布　
　　4.3.3　穩(wěn)態(tài)分布　
　4.4　擴(kuò)展高斯分布　
　4.5　tsallis分布　
　　4.5.1　tsallis熵　
　　4.5.2　tsallis分布　
　4.6　伊藤公式　
　　4.6.1　伊藤積分的概念　
　　4.6.2　伊藤公式　
　4.7　隨機(jī)行走模型　
　4.8　問(wèn)題與討論　
　　4.8.1　統(tǒng)計(jì)分布的應(yīng)用背景　
　　4.8.2　統(tǒng)計(jì)分布、擴(kuò)散過(guò)程與微分方程的關(guān)系　
　　4.8.3　levy穩(wěn)態(tài)分布和頻率依賴聲波耗散的指數(shù)(0，2]分布　
　參考文獻(xiàn)　
第五章　分?jǐn)?shù)階微分方程的典型應(yīng)用　
　5.1　冪律現(xiàn)象與非梯度本構(gòu)關(guān)系　
　　5.1.1　冪律分?現(xiàn)象與分?jǐn)?shù)維　
　　5.1.2　冪律分布現(xiàn)象的形成機(jī)理　
　　5.1.3　冪律現(xiàn)象與非梯度本構(gòu)關(guān)系　
　5.2　分?jǐn)?shù)階langevin方程　
　　5.2.1　langevin方程　
　　5.2.2　分?jǐn)?shù)階iangevin方程　
　5.3　復(fù)雜阻尼振動(dòng)　
　　5.3.1　振子模型　
　　5.3.2　分?jǐn)?shù)階振子　
　5.4　黏彈性與流變材料本構(gòu)模型　
　　5.4.1　元件模型　
　　5.4.2　松弛模量和蠕變?nèi)崃俊?br />　　5.4.3　復(fù)松弛模量和復(fù)蠕變?nèi)崃俊?br />　　5.4.4　分?jǐn)?shù)階黏彈性模型中的復(fù)松弛模量和復(fù)蠕變?nèi)崃俊?br />　　5.4.5　黏彈性體的分?jǐn)?shù)階力學(xué)模型　
　　5.4.6　土流變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)擬合與分析　
　　5.4.7　stokes第二類問(wèn)題分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的精確解　
　5.5　聲波的任意階頻率依賴耗散　
　　5.5.1　波在彈性固體中傳播　
　　5.5.2　波在黏彈性介質(zhì)中耗散傳播的經(jīng)典模型　
　　5.5.3　波在黏彈性介質(zhì)中耗散傳播的分?jǐn)?shù)階模型　
　　5.5.4　流體中的聲波　
　　5.5.5　聲波的吸收與頻率依賴耗散　
　　5.5.6　任意階頻率依賴耗散聲波傳播的分?jǐn)?shù)階拉普拉斯方程模型　
　　5.5.7　非線性聲?的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)耗散模型　
　　5.5.8　分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)地震波模型　
　5.6　力學(xué)中的分?jǐn)?shù)階變分原理　
　　5.6.1　力學(xué)變分原理　
　　5.6.2　分?jǐn)?shù)階變分原理　
　5.7　分?jǐn)?shù)階薛定諤方程　
　　5.7.1　波粒二象性　
　　5.7.2　薛定諤方程　
　　5.7.3　波函數(shù)的物理意義　
　　5.7.4　時(shí)間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程　
　　5.7.5　路徑積分原理和薛定諤方程　
　　5.7.6　空間分?jǐn)?shù)階薛定諤方程　
　　5.7.7　分?jǐn)?shù)階薛定諤方程的分形時(shí)空起源　
　5.8　其他應(yīng)用領(lǐng)域　
　　5.8.1　分?jǐn)?shù)階微積分在斷裂力學(xué)中的應(yīng)用　
　　5.8.2　分?jǐn)?shù)階微積分在系統(tǒng)控制中的應(yīng)用　
　　5.8.3　分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型的反問(wèn)題　
　5.9　變導(dǎo)數(shù)、分布式導(dǎo)數(shù)與隨機(jī)導(dǎo)數(shù)的建模與應(yīng)用　
　　5.9.1　變導(dǎo)數(shù)的建模與應(yīng)用　
　　5.9.2　分布式導(dǎo)數(shù)的建模與應(yīng)用　
　　5.9.3　隨機(jī)導(dǎo)數(shù)的建模與應(yīng)用　
　參考文獻(xiàn)　
第六章　分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法　
　6.1　時(shí)間分?jǐn)?shù)階微分方程　
　　6.1.1　有限差分與積分方程法　
　　6.1.2　時(shí)間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程數(shù)值算法的總結(jié)與分析　
　6.2　空間分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法　
　　6.2.1　主要的數(shù)值解法簡(jiǎn)介　
　　6.2.2　三種求解空間分?jǐn)?shù)階反常擴(kuò)散方程的方法比較　
　6.3　存在的問(wèn)題　
　6.4　分形導(dǎo)數(shù)方程數(shù)值解法　
　6.5　正定分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)方程數(shù)值解法　
　參考文獻(xiàn)　
第七章　分?jǐn)?shù)階微積分的發(fā)展情況與展望　
　7.1　總結(jié)與討論　
　　7.1.1　研究與應(yīng)用現(xiàn)狀　
　　7.1.2　關(guān)鍵問(wèn)題　
　7.2　展望　
附錄i　特殊函數(shù)　
　i.1　伽馬函數(shù)　
　i.2　貝塔函數(shù)　
　i.3　dirac-delta函數(shù)　
　i.4　mittag-leffler函數(shù)　
　i.5　wrrighe函數(shù)　
　i.6　h-fox函數(shù)　
　參考文獻(xiàn)　
附錄ii　分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)相關(guān)的電子資源　
　參考文獻(xiàn)