現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)11：整體微分幾何初步

第0章 E3中曲線和曲面的局部概論
§1 E3中的曲線
1.1 曲線的表示
1.2 曲線的Frenet標(biāo)架曲率和撓率
1.3 曲線論的基本公式和基本定理
§2 E3中的曲面
2.1 曲面的表示
2.2 曲面上的活動(dòng)標(biāo)架第一基本形式
2.3 長度、角度和面積元
2.4 常見曲面
§3 曲面上的曲率
3.1 曲面的第二基本形式
3.2 wreingarten變換主曲率
3.3 Gauss曲率平均曲率曲率線
3.4 Gauss映射第三基本形式
§4 曲面的局部理論
4.1 自然標(biāo)架的基本公式
4.2 測(cè)地曲率測(cè)地線
4.3 法坐標(biāo)與測(cè)地極坐標(biāo)
第一章 活動(dòng)標(biāo)架法
§1 幺正標(biāo)架
1.1 幺正標(biāo)架
1.2 雙參數(shù)下的外乘法與外微分
1.3 幺正標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)方程
§2 外微分形式
2.1 外代數(shù)
2.2 外微分形式
2.3 外微分
2.4 微分形式的積分
§3 可積系統(tǒng)
3.1 E3的結(jié)構(gòu)方程
3.2 Frobenius定理
§4 曲線和曲面的基本定理
4.1 曲線論基本定理
4.2 用活動(dòng)幺正標(biāo)架研究曲面
4.2.1 聯(lián)絡(luò)與第二基本形式
4.2.2 測(cè)地曲率的Liouville公式
4.2.3 Gauss美妙定理
4.3曲面論基本定理
第二章 曲線的整體微分幾何
§1 平面曲線的某些整體性質(zhì)
1.1 等周不等式
1.2 曲線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)
1.2.1 映射的度數(shù)
1.2.2 旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理
1.3 凸閉曲線
§2 空間曲線的某些整體性質(zhì)
2.1 球面上的Crofton公式
2.2 空間曲線的全曲率
2.3 空間曲線的全撓率
第三章 E3中曲面的整體微分幾何
§1 曲面的Gauss—Bonnet公式
1.1 曲面的整體描述
1.2 Gauss-Bonnet公式
§2 Liebmann定理
2.1 球面的剛性
2.2 兩個(gè)引理
2.3 Liebmann定理的證明
§3 凸曲面和積分公式
3.1 凸曲面的Hadamard定理
3.2 Cohn-Vossen定理
3.3 Minkowski積分公式
§4 Mink：OWSki問題和Christoffel問題的唯一性
4.1 概述
4.2 基本公式
4.3 Minkowski問題的唯一性
4.4 Christoffel問題的唯一性
§5 全平均曲率與willmore猜想
5.1 全平均曲率
5.2 球面的一個(gè)特征
5.3 環(huán)面的全平均曲率
5.4 Fenchel定理
§6 常負(fù)曲率曲面和Backlund變換
6.1 常負(fù)曲率曲面和SG方程
6.2 偽球線匯和焦曲面
6.3 Backlund變換
§7 Hilbert定理
7.1 負(fù)曲率曲面上的漸近線網(wǎng)
7.2 常負(fù)曲率完備曲面上的整體漸近線網(wǎng)
7.3 定理的證明
§8 Hartman—Nirenberg定理
8.1 預(yù)備引理
8.2 定理的證明
§9 極小曲面的Bernstein定理
9.1 共變微分和Laplacian△
9.2 關(guān)于Gauss曲率的計(jì)算
9.3 極小圖的Gauss曲率計(jì)算
9.4 Bernstein定理的證明
§10 常平均曲率曲面
10.1 面積的變分
10.2 保體積的變分
10.3 Hopf定理
第四章 曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)
§1 曲面上的向量場(chǎng)
1.1 曲面上的向量場(chǎng)
1.2 曲面上向量場(chǎng)的平行移動(dòng)
1.3 向量場(chǎng)的奇點(diǎn)
1.4 抽象曲面上的向量場(chǎng)
§2 測(cè)地線與完備曲面
2.1 測(cè)地線
2.2 指數(shù)映射exp
2.3 測(cè)地線的最短性
2.4 完備性
§3 弧長的第一變分
3.1 曲線的變分
3.2 第一變分公式
3.3 第一變分公式的應(yīng)用
§4 弧長的第二變分及Jacobi場(chǎng)
4.1 弧長的第二變分公式
4.2 Jacobi場(chǎng)
4.3 共軛點(diǎn)
§5 曲率與拓?fù)?br /> 5.1 曲率與Jacobi場(chǎng)
5.2 Gauss曲率非正的曲面
§6 閉測(cè)地線與基本群
6.1 閉測(cè)地線與基本群
6.2 覆蓋空間與閉測(cè)地線
6.3 緊致閉曲面上的閉測(cè)地線
第五章 高維歐氏空間的超曲面
§1 基本公式
1.1 超曲面的結(jié)構(gòu)方程和曲率張量
1.2 主曲率與平均曲率
1.3空間形式
§2 積分公式
2.1 Minkowski積分公式
2.2 緊致凸超曲面
§3 球面的剛性定理
3.1 非負(fù)Ricci曲率的緊致超曲面
3.2 常數(shù)數(shù)量曲率的緊致超曲面
§4 極小超曲面的.Bernstein型定理
4.1關(guān)于第二基本形式的一個(gè)估計(jì)
4.2 穩(wěn)定性不等式
4.3 Bet-nstein定理的推廣
4.4 定理4.4的另一證明
§5 常平均曲率的完備超曲面
5.1 常平均曲率圖
5.2 常平均曲率超曲面的曲率估計(jì)
5.3 具有有限全曲率的常平均曲率超曲面
§6 平均曲率流
6.1 平均曲率流方程
6.2 解的短時(shí)間存在性
6.3 度量和曲率的發(fā)展
6.4 緊致凸超曲面的收縮
§7 平均曲率流的奇性和凸性
7.1 平均曲率流的奇性
7.2 平均曲率流的凸性
7.3 關(guān)于σ2的估計(jì)
7.4 關(guān)于初等對(duì)稱函數(shù)
7.5 定理7.4的證明
§8 關(guān)于Lawson—simons猜想
8.1 Lawson—Simons猜想
8.2 作為歐氏超曲面的緊致流形
8.3 定理8.1的證明
8.4 一般的黎曼流形
本章參考文獻(xiàn)
第六章 Fiasler幾何中的某些變分計(jì)算
§1 FiIlsler流形
1.1 Finsler流形
1.2 陳聯(lián)絡(luò)(Chern connection)
1.3 黎曼曲率
1.4 體積元
1.5 畸變與S曲率
1.6 復(fù)Finsler流形
§2 某些幾何變分計(jì)算
2.1 散度公式
2.2 Einsteil卜Hilbert泛函
2.3 調(diào)和映射
2.3.1 第一變分
2.3.2 第二變分與Liouville型定理
2.4 極小浸入
2.5 復(fù)Finsler流形間的調(diào)和映射
2.5.1 第一變分
2.5.2 存在性
2.5.3 同倫不變性
本章參考文獻(xiàn)
附錄A 歐氏空間點(diǎn)集拓?fù)涓乓?br />附錄B 曲面的拓?fù)浞诸?br />本書參考文獻(xiàn)
索引