實(shí)用偏微分方程（原書第4版）

第1章 熱傳導(dǎo)方程  
1.1 引言  
1.2 一維桿中熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)  
1.3 邊界條件  
1.4 平衡溫度分布  
1.4.1 給定溫度  
1.4.2 絕熱邊界  
1.5 二維或三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)  
第2章 分離變量法  
2.1 引言  
2.2 線性性質(zhì)  
2.3 在有限端處具有零溫度的熱傳導(dǎo)方程  
2.3.1 概述  
2.3.2 分離變量  
2.3.3 不定常方程  
2.3.4 邊值問(wèn)題  
2.3.5 乘積解和疊加原理  
2.3.6 正弦函數(shù)的正交性  
2.3.7 實(shí)例  
2.3.8 小結(jié)  
2.4 有關(guān)熱傳導(dǎo)方程的例子：其他邊值問(wèn)題  
2.4.1 絕熱端桿中的熱傳導(dǎo)  
2.4.2 細(xì)圓環(huán)中的熱傳導(dǎo)  
2.4.3 邊值問(wèn)題小結(jié)  
2.5 拉普拉斯方程：求解和定性性質(zhì)  
2.5.1 矩形區(qū)域內(nèi)的拉普拉斯方程  
2.5.2 圓盤內(nèi)的拉普拉斯方程  
2.5.3 繞過(guò)圓柱體的流體流動(dòng)（升力）  
2.5.4 拉普拉斯方程的定性性質(zhì)  
第3章 傅里葉級(jí)數(shù)  
3.1 引言  
3.2 收斂定理  
3.3 傅里葉余弦級(jí)數(shù)和傅里葉正弦級(jí)數(shù)  
3.3.1 傅里葉正弦級(jí)數(shù)  
3.3.2 傅里葉余弦級(jí)數(shù)  
3.3.3 用正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)表示f(x)  
3.3.4 偶部和奇部  
3.3.5 連續(xù)傅里葉級(jí)數(shù)  
3.4 傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)微分  
3.5 傅里葉級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)積分  
3.6 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)形式  
第4章 波動(dòng)方程：振動(dòng)弦與振動(dòng)膜  
4.1 引言  
4.2 弦振動(dòng)方程的建立  
4.3 邊界條件  
4.4 端點(diǎn)固定的振動(dòng)弦  
4.5 振動(dòng)膜  
4.6 電磁波與聲波的反射與折射  
4.6.1 斯涅耳折射定律  
4.6.2 反射波與折射波的強(qiáng)度（振幅）  
4.6.3 內(nèi)部全反射  
第5章 施圖姆劉維爾特征值問(wèn)題  
5.1 引言  
5.2 例子  
5.2.1 非均勻桿內(nèi)的熱流  
5.2.2 圓對(duì)稱熱流  
5.3 施圖姆劉維爾特征值問(wèn)題  
5.3.1 一般分類  
5.3.2 正則施圖姆劉維爾特征值問(wèn)題  
5.3.3 定理的舉例和說(shuō)明  
5.4 例子：非均勻桿中的無(wú)熱源熱流  
5.5 自伴算子和施圖姆劉維爾特征值問(wèn)題  
5.6 瑞利商  
5.7 例子：非均勻弦的振動(dòng)  
5.8 第三類邊界條件  
5.9 大特征值（漸近行為）  
5.10 逼近性質(zhì)  
第6章 偏微分方程的有限差分?jǐn)?shù)值法  
6.1 引言  
6.2 有限差分與截?cái)嗵├占?jí)數(shù)  
6.3 熱傳導(dǎo)方程  
6.3.1 概述  
6.3.2 偏差分方程  
6.3.3 計(jì)算  
6.3.4 傅里葉馮·諾伊曼穩(wěn)定性分析  
6.3.5 偏差分方程的分離變量和常差分方程的解析解  
6.3.6 矩陣記號(hào)  
6.3.7 非齊次問(wèn)題  
6.3.8 其他數(shù)值格式  
6.3.9 其他類型的邊界條件  
6.4 二維熱傳導(dǎo)方程  
6.5 波動(dòng)方程  
6.6 拉普拉斯方程  
6.7 有限元法  
6.7.1 非正交函數(shù)逼近  
6.7.2 最簡(jiǎn)三角形有限元  
第7章 高維偏微分方程  
7.1 引言  
7.2 時(shí)間變量的分離  
7.2.1 振動(dòng)膜:任意形狀  
7.2.2 熱傳導(dǎo):任意區(qū)域  
7.2.3 小結(jié)  
7.3 振動(dòng)矩形膜  
7.4 特征值問(wèn)題Δ2+λ=0的定理敘述和說(shuō)明  
7.5 格林公式. 自伴算子和多維特征值問(wèn)題  
7.6 瑞利商和拉普拉斯方程  
7.6.1 瑞利商  
7.6.2 依賴時(shí)間的熱傳導(dǎo)方程與拉普拉斯方程  
7.7 振動(dòng)圓形膜和貝塞爾函數(shù)  
7.7.1 概述  
7.7.2 分離變量  
7.7.3 特征值問(wèn)題(一維情形)  
7.7.4 貝塞爾微分方程  
7.7.5 奇異點(diǎn)和貝塞爾微分方程  
7.7.6 貝塞爾函數(shù)及其漸近性質(zhì)（在z=0附近）  
7.7.7 涉及貝塞爾函數(shù)的特征值問(wèn)題  
7.7.8 振動(dòng)圓形膜的初值問(wèn)題  
7.7.9 圓對(duì)稱情形  
7.8 貝塞爾函數(shù)的進(jìn)一步討論  
7.8.1 貝塞爾函數(shù)的定性性質(zhì)  
7.8.2 特征值的漸近公式  
7.8.3 貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)曲線  
7.8.4 貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)表示  
7.9 圓柱體上的拉普拉斯方程  
7.9.1 概述  
7.9.2 分離變量  
7.9.3 側(cè)面及頂部或底部為零溫度的情形  
7.9.4 頂部和底部為零溫度的情形  
7.9.5 修正貝塞爾函數(shù)  
7.10 球內(nèi)的問(wèn)題和勒讓德多項(xiàng)式  
7.10.1 概述  
7.10.2 分離變量和一維特征值問(wèn)題  
7.10.3 連帶勒讓德函數(shù)和勒讓德多項(xiàng)式  
7.10.4 徑向特征值問(wèn)題  
7.10.5 乘積解. 振動(dòng)模式和初值問(wèn)題  
7.10.6 球內(nèi)部的拉普拉斯方程  
第8章 非齊次問(wèn)題  
8.1 引言  
8.2 有源熱流與非齊次邊界條件  
8.3 帶齊次邊界條件的特征函數(shù)展開法（微分特征函數(shù)的級(jí)數(shù)）  
8.4 利用格林公式的特征函數(shù)展開法（帶或不帶齊次邊界條件）  
8.5 受迫振動(dòng)膜與共振  
8.6 泊松方程  
第9章 定常問(wèn)題的格林函數(shù)  
9.1 引言  
9.2 一維熱傳導(dǎo)方程  
9.3 常微分方程邊值問(wèn)題的格林函數(shù)  
9.3.1 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程  
9.3.2 參數(shù)變易法  
9.3.3 格林函數(shù)的特征函數(shù)展開法  
9.3.4 狄拉克δ函數(shù)及其與格林函數(shù)的關(guān)系  
9.3.5 非齊次邊界條件  
9.3.6 小結(jié)  
9.4 弗雷德霍姆擇一性與廣義格林函數(shù)  
9.4.1 概述  
9.4.2 弗雷德霍姆擇一性  
9.4.3 廣義格林函數(shù)  
9.5 泊松方程的格林函數(shù)  
9.5.1 概述..  
9.5.2 多維狄拉克δ函數(shù)與格林函數(shù)  
9.5.3 用特征函數(shù)展開法表示格林函數(shù)與弗雷德霍姆擇一性  
9.5.4 格林函數(shù)的直接解法(一維特征函數(shù))  
9.5.5 用格林函數(shù)解帶非齊次邊界條件的問(wèn)題  
9.5.6 無(wú)窮空間格林函數(shù)  
9.5.7 用無(wú)窮空間格林函數(shù)得到有界區(qū)域的格林函數(shù)  
9.5.8 用無(wú)窮空間格林函數(shù)求半無(wú)窮平面(y>0)的格林函數(shù)：像源法  
9.5.9 圓的格林函數(shù)：像源法  
9.6 擾動(dòng)特征值問(wèn)題  
9.6.1 概述  
9.6.2 數(shù)學(xué)例子  
9.6.3 擬圓膜振動(dòng)  
9.7 小結(jié)  
第10章 無(wú)窮域問(wèn)題：偏微分方程的傅里葉變換解法  
10.1 引言  
10.2 無(wú)窮域上的熱傳導(dǎo)方程  
10.3 傅里葉變換對(duì)  
10.3.1 傅里葉級(jí)數(shù)恒等式的啟示  
10.3.2 傅里葉變換  
10.3.3 高斯函數(shù)的傅里葉逆變換  
10.4 傅里葉變換與熱傳導(dǎo)方程  
10.4.1 熱傳導(dǎo)方程  
10.4.2 傅里葉變換熱傳導(dǎo)方程：導(dǎo)數(shù)的變換  
10.4.3 卷積定理  
10.4.4 傅里葉變換性質(zhì)小結(jié)  
10.5 傅里葉正弦和余弦變換：半無(wú)窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程  
10.5.1 概述  
10.5.2 半無(wú)窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程Ⅰ  
10.5.3 傅里葉正弦和余弦變換  
10.5.4 導(dǎo)數(shù)的變換  
10.5.5 半無(wú)窮區(qū)間上的熱傳導(dǎo)方程Ⅱ  
10.5.6 傅里葉正弦和余弦變換表  
10.6 應(yīng)用變換求解的例子  
10.6.1 無(wú)窮區(qū)間上的一維波動(dòng)方程  
10.6.2 半無(wú)窮帶上的拉普拉斯方程  
10.6.3 半平面上的拉普拉斯方程  
10.6.4 四分之一平面上的拉普拉斯方程  
10.6.5 平面上的熱傳導(dǎo)方程(二維傅里葉變換)  
10.6.6 二重傅里葉變換表  
10.7 散射和逆散射  
第11章 波動(dòng)方程和熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)  
11.1 引言  
11.2 波動(dòng)方程的格林函數(shù)  
11.2.1 概述  
11.2.2 格林公式  
11.2.3 互反性  
11.2.4 使用格林函數(shù)  
11.2.5 波動(dòng)方程的格林函數(shù)  
11.2.6 格林函數(shù)的另一個(gè)微分方程  
11.2.7 一維波動(dòng)方程的無(wú)窮空間格林函數(shù)和達(dá)朗貝爾解  
11.2.8 三維波動(dòng)方程的無(wú)窮空間格林函數(shù)(惠更斯原理)  
11.2.9 二維無(wú)窮空間格林函數(shù)  
11.2.10 小結(jié)  
11.3 熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)  
11.3.1 概述  
11.3.2 熱傳導(dǎo)方程的非自伴特性  
11.3.3 格林公式  
11.3.4 伴隨格林函數(shù)  
11.3.5 互反性  
11.3.6 用格林函數(shù)表示解  
11.3.7 格林函數(shù)的另一個(gè)微分方程  
11.3.8 擴(kuò)散方程的無(wú)窮空間格林函數(shù)  
11.3.9 熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)(在半無(wú)窮域上)  
11.3.10 熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù)(在有限區(qū)域上)  
第12章 線性和擬線性波動(dòng)方程的特征線法  
12.1 引言  
12.2 一階波動(dòng)方程的特征線  
12.2.1 概述  
12.2.2 一階偏微分方程的特征線法  
12.3 一維波動(dòng)方程的特征線法  
12.3.1 通解  
12.3.2 初值問(wèn)題(無(wú)窮區(qū)域)  
12.3.3 達(dá)朗貝爾解  
12.4 半無(wú)界弦和反射  
12.5 定長(zhǎng)振動(dòng)弦的特征線法  
12.6 擬線性偏微分方程的特征線法  
12.6.1 特征線法  
12.6.2 交通流量  
12.6.3 特征線法(Q=0)  
12.6.4 沖擊波  
12.6.5 擬線性舉例  
12.7 一階非線性偏微分方程  
12.7.1 由波動(dòng)方程推導(dǎo)出的短時(shí)距方程  
12.7.2 求解均勻介質(zhì)中的短時(shí)距方程和反射波  
12.7.3 一階非線性偏微分方程  
第13章 偏微分方程的拉普拉斯變換解法  
13.1 引言  
13.2 拉普拉斯變換的性質(zhì)  
13.2.1 概述  
13.2.2 拉普拉斯變換的奇點(diǎn)  
13.2.3 導(dǎo)數(shù)的變換  
13.2.4 卷積定理  
13.3 常微分方程初值問(wèn)題的格林函數(shù)  
13.4 波動(dòng)方程的信號(hào)問(wèn)題  
13.5 有限長(zhǎng)度振動(dòng)弦的信號(hào)問(wèn)題  
13.6 波動(dòng)方程及其格林函數(shù)  
13.7 用復(fù)平面上的圍線積分計(jì)算拉普拉斯逆變換  
13.8 利用拉普拉斯變換求解波動(dòng)方程(復(fù)變量)  
第14章 色散波：緩變. 穩(wěn)定性. 非線性性和擾動(dòng)法  
14.1 引言  
14.2 色散波和群速度  
14.2.1 行波和色散關(guān)系  
14.2.2 群速度Ⅰ  
14.3 波導(dǎo)  
14.3.1 對(duì)ωf頻率集中周期性源的響應(yīng)  
14.3.2 模式傳播的格林函數(shù)  
14.3.3 模式不傳播的格林函數(shù)  
14.3.4 設(shè)計(jì)思路  
14.4 光纖  
14.5 群速度Ⅱ和穩(wěn)定相位法  
14.5.1 穩(wěn)定相位法  
14.5.2 對(duì)線性色散波的應(yīng)用  
14.6 緩變色散波(群速度和焦散曲線)  
14.6.1 色散偏微分方程的近似解  
14.6.2 焦散曲線的形成  
14.7 波包絡(luò)方程(集中波數(shù))  
14.7.1 薛定諤方程  
14.7.2 線性化KdV方程  
14.7.3 非線性色散波：KdV方程  
14.7.4 孤立子與逆散射  
14.7.5 非線性薛定諤方程  
14.8 穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性  
14.8.1 常微分方程和分歧理論簡(jiǎn)介  
14.8.2 偏微分方程穩(wěn)定平衡解的基本例子  
14.8.3 偏微分方程的典型不穩(wěn)定平衡點(diǎn)和模式形成  
14.8.4 不適定問(wèn)題  
14.8.5 微不穩(wěn)定色散波和線性化復(fù)金茨堡朗道方程  
14.8.6 非線性復(fù)金茨堡朗道方程  
14.8.7 長(zhǎng)波的不穩(wěn)定性  
14.8.8 反應(yīng)擴(kuò)散方程的模式形成和圖靈不穩(wěn)定性  
14.9 奇異擾動(dòng)法：多尺度  
14.9.1 常微分方程：弱非線性阻尼振子  
14.9.2 常微分方程：緩變振子  
14.9.3 固定空間域上的微不穩(wěn)定偏微分方程  
14.9.4 關(guān)于波動(dòng)方程的緩變介質(zhì)  
14.9.5 緩變線性色散波(包括弱非線性作用)