微分方程數(shù)值分析基礎(chǔ)教程

　　圖書(shū)簡(jiǎn)介：數(shù)值分析向世界展現(xiàn)了它的不同面孔。對(duì)數(shù)學(xué)家而言，它是帶有應(yīng)用性的純正的數(shù)學(xué)理論。對(duì)科技人員和工程師而言，它是實(shí)用的應(yīng)用性學(xué)科，是建模工藝中典型技能的一部分。對(duì)計(jì)算機(jī)科學(xué)家而言，它是關(guān)于計(jì)算機(jī)結(jié)構(gòu)與實(shí)數(shù)運(yùn)算的算法之間相互影響的理論。正是這些觀點(diǎn)間的不同形成了寫(xiě)這本書(shū)的動(dòng)力。本書(shū)嚴(yán)格論述了常微分方程和偏微分方程數(shù)值分析的基本理論。出發(fā)點(diǎn)是數(shù)學(xué)的，但本書(shū)盡力保持在理論上、算法上和應(yīng)用上的平衡。具體地，本書(shū)包含求常微分方程的數(shù)值解的多步法和龍格-庫(kù)塔方法；泊松方程的有限差分法和有限元法；各種解大型稀疏代數(shù)方程組的算法；解雙曲型和拋物型微分方程的數(shù)值方法以及分析的技巧。本書(shū)的附錄是一些數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)要備份。英國(guó)劍橋大學(xué)教授Iserles博士注重基本知識(shí)：從最基本原理推得方法，用各種數(shù)學(xué)技術(shù)對(duì)這些方法進(jìn)行分析，不時(shí)討論這些方法的實(shí)現(xiàn)和應(yīng)用。他這樣做，使得讀者能在不忽略應(yīng)用的情況下對(duì)這門(mén)課有理論上的理解。這樣就形成了一本在數(shù)學(xué)上誠(chéng)實(shí)和嚴(yán)格的教材，為讀者在常微分方程和偏微分方程方面提供了很多技巧。前言人們常說(shuō)，出書(shū)源自一種使命感，一種分享知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和思想的愿望，一種對(duì)美的熱愛(ài)．本書(shū)的出版卻是源自一種挫折感．近10年，在劍橋以及其他地方，我一直從事數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的微分方程數(shù)值分析的教學(xué)．回顧這一漫長(zhǎng)的實(shí)踐過(guò)程，總結(jié)其間的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，我得出了兩條結(jié)論，它們均對(duì)本書(shū)的選材及表述方式發(fā)揮了指導(dǎo)性的作用．第一條，數(shù)學(xué)家不同于其他領(lǐng)域的專(zhuān)家．你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，人們學(xué)習(xí)數(shù)值分析有各種各樣的原因．自然科學(xué)家和工程師把它當(dāng)做一種手段、一個(gè)工具，用以探究那些真正使他們感興趣的東西．所以很自然，他們既不愿意花費(fèi)時(shí)間，也不愿花費(fèi)腦力去做精致的數(shù)學(xué)分析，而是喜歡你將數(shù)值方法像食譜一樣列出來(lái)，再加上些直覺(jué)的、淺顯的解釋?zhuān)?jì)算機(jī)科學(xué)家的態(tài)度則不同，他們更看重算法，致力于研究漂亮的算法及其與計(jì)算機(jī)構(gòu)造的聯(lián)系，類(lèi)似微分方程這樣的數(shù)學(xué)構(gòu)造一旦情況允許（甚至更快）即被棄置一邊，代之以離散化的模型，然后用組合技術(shù)來(lái)研究．?dāng)?shù)學(xué)家則遵循另一種推理模式．通常學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生在本科階段最后一年或研究生階段第一年參加一門(mén)高等數(shù)值分析課的學(xué)習(xí)．到那時(shí)候，他們所學(xué)的大部分內(nèi)容都遵循著一個(gè)數(shù)學(xué)中熟知的形式推理模式：公理定理證明推論……而數(shù)值分析通常很難套用這一模式，這是許多學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生覺(jué)得數(shù)值分析缺乏魅力的深層原因．所以，給數(shù)學(xué)系學(xué)生講數(shù)值分析往往令人感到兩難：如果完全上成數(shù)學(xué)理論的課程，會(huì)使學(xué)生感到智力上的愉悅，但應(yīng)用方面就會(huì)欠缺；如果大量灌以應(yīng)用方向的介紹，又很可能讓學(xué)生本末倒置，暈頭轉(zhuǎn)向．要解決這個(gè)問(wèn)題并不很難，我們只需以誠(chéng)實(shí)的數(shù)學(xué)態(tài)度來(lái)表述材料，偶爾轉(zhuǎn)向應(yīng)用問(wèn)題和算法，但永不失誠(chéng)實(shí)和嚴(yán)密．如果一個(gè)證明要用到許多討論范圍之外的材料，完全可以略去這個(gè)證明．我們甚至可以用表面上的正確性連同實(shí)際應(yīng)用中的好的運(yùn)行記錄來(lái)說(shuō)明一個(gè)數(shù)值方法的可行性，但表面上的正確性，好的運(yùn)行記錄，直覺(jué)和淺顯的說(shuō)明并非誠(chéng)實(shí)的數(shù)學(xué)論證，而且也永遠(yuǎn)不應(yīng)當(dāng)稱(chēng)做數(shù)學(xué)論證．第二條，在數(shù)值分析這門(mén)課中，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)既學(xué)常微分方程，又學(xué)偏微分方程，還有處理大規(guī)模稀疏代數(shù)方程組的方法．由于眾多數(shù)學(xué)課程的壓力，使得僅有少數(shù)本科生有可能參加多于一門(mén)的高等數(shù)值分析課的學(xué)習(xí)．而更多的人很可能在其未來(lái)的職業(yè)生涯中要用到微分方程數(shù)值解法．所以，如果將課程內(nèi)容僅限于某一主題，比如常微分方程或有限元，雖然內(nèi)容緊湊，重點(diǎn)明確，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看卻不是一個(gè)有益的方法．再重復(fù)一下，面向數(shù)學(xué)系學(xué)生的理想的微分方程數(shù)值分析課，應(yīng)當(dāng)具備數(shù)學(xué)的誠(chéng)實(shí)和嚴(yán)密，并教給聽(tīng)眾廣博的技能，既包括常微分方程方面的內(nèi)容，也包括偏微分方程方面的內(nèi)容．過(guò)去10年，我一直熱切地想要找到一本關(guān)于這門(mén)課程的令人滿(mǎn)意的教材，但沒(méi)有找到．關(guān)于其特定的專(zhuān)題，比如常微分方程數(shù)值解法、有限元、稀疏代數(shù)方程組的計(jì)算，都有許多好的教科書(shū)，也有幾本書(shū)涉及到各個(gè)專(zhuān)題，但遺憾的是，它們都相對(duì)缺乏數(shù)學(xué)的精致和嚴(yán)密．就我所知，還沒(méi)有哪本書(shū)能做到準(zhǔn)確地為自己定位，并達(dá)到相應(yīng)的成熟程度．我因而感到失望，這也是促成我寫(xiě)這本書(shū)的主要原因．我們或許應(yīng)當(dāng)在此簡(jiǎn)要回顧一下本書(shū)的主要特點(diǎn)．★我們選材的覆蓋面很廣：用多步法和龍格—庫(kù)塔法求常微分方程數(shù)值解；泊松方程的有限差分法及有限元法；泊松方程求解時(shí)出現(xiàn)的大型稀疏代數(shù)方程組的各種求解算法；最后，拋物型和雙曲型微分方程的方法及分析技巧．或許這本書(shū)可作為一本一年制快速課程的教材，也有可能很多教師只想講其中一部分內(nèi)容，為了幫助他們（以及他們的學(xué)生）在數(shù)值“地雷陣”中順利前進(jìn)，在本前言的后面附有一張流程圖，表明本書(shū)各部分的“鏈接”．沿中線以陰影標(biāo)識(shí)的部分是核心內(nèi)容：講這門(mén)課而忽略這些主題，那是說(shuō)不過(guò)去的（當(dāng)然，在每章內(nèi)部適當(dāng)?shù)貟x內(nèi)容是合理的?。疅o(wú)陰影標(biāo)識(shí)的框是選修內(nèi)容——這些主題的取舍依個(gè)人的選擇而定．它們均包含有價(jià)值的材料，但就其整體而言，或許超出了高等本科教材的覆蓋能力和范疇．★這是一本面向數(shù)學(xué)系學(xué)生的教材，也就是說(shuō)，它不以計(jì)算機(jī)科學(xué)家、工程師或自然科學(xué)家為對(duì)象．如前所述，不同的學(xué)生群體關(guān)心不同的事情，有不同的思維模式和吸收知識(shí)的方式．所以，一本教材若想取悅所有讀者，則可能令所有讀者都失望．盡管如此，那些需要數(shù)值方面知識(shí)的非數(shù)學(xué)工作者仍可以從本書(shū)中受益，但應(yīng)當(dāng)指出，他們或許應(yīng)當(dāng)在他們職業(yè)生涯中稍微晚些時(shí)候再去鉆研這些，也就是當(dāng)他們具備了適當(dāng)?shù)膭?dòng)機(jī)和背景知識(shí)的時(shí)候．關(guān)于本書(shū)的一個(gè)更為基本的限制就是它是一本教材，而不是學(xué)術(shù)論文或技巧集錦．特別需要強(qiáng)調(diào)，我們的使命不是讓人欣賞藝術(shù)展覽，或關(guān)注最新進(jìn)展，同樣，我們也無(wú)意提供能對(duì)付任何問(wèn)題和情況的萬(wàn)能方法．★許多數(shù)學(xué)教材都有個(gè)惱人的毛病，解任何一個(gè)問(wèn)題時(shí)都要不必要地羅列一大串方法和算法．因而不止有1個(gè)龍格—庫(kù)塔法，而是20個(gè)！可憐的讀者們面對(duì)著一大堆武器，卻往往沒(méi)有任何線索告訴他們應(yīng)當(dāng)選用其中的哪一個(gè)，以及為什么用它．本書(shū)中我們采取另一種方式：我們從支持算法的原理中推導(dǎo)出算法，這些原理是我們論證的中心，而不是算法本身．一旦這些原理被提煉出來(lái)，算法就成為數(shù)值分析中最容易的部分，像煙花般驟然盛開(kāi)——真正的腦力挑戰(zhàn)在于數(shù)學(xué)的分析．這并不是說(shuō)軟件的問(wèn)題不重要或其體系的學(xué)術(shù)性相對(duì)較弱．我們?cè)诘?章中對(duì)這些問(wèn)題予以關(guān)注，并且我必須趕快強(qiáng)調(diào)一下，好的軟件設(shè)計(jì)同定理的證明一樣具有挑戰(zhàn)性．事實(shí)上，對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)中分析方面的了解有助于正確鑒識(shí)軟件及應(yīng)用中的困難．★數(shù)值分析的一個(gè)真正激動(dòng)人心的特點(diǎn)，在于它廣泛運(yùn)用多門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)．如果你以為數(shù)值分析是逃避數(shù)學(xué)，是因?yàn)橄矚g研究某些更“軟”些的東西而借它來(lái)取代研究數(shù)學(xué)，那你注定會(huì)大吃一驚．?dāng)?shù)值分析可能是最廣泛應(yīng)用多種數(shù)學(xué)理論的學(xué)科，從基本的線性代數(shù)和微積分，直到泛函分析、微分拓?fù)?、圖論、解析函數(shù)理論、非線性動(dòng)力系統(tǒng)、數(shù)論、凸理論——這個(gè)單子可一直列下去．幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論都對(duì)數(shù)值分析研究給予啟發(fā)和幫助．因而，研究數(shù)值分析的人必須思維開(kāi)放，隨時(shí)準(zhǔn)備借用其他各種技巧——它可不是給閉門(mén)造車(chē)的人預(yù)備的！本書(shū)中我們著重討論那些啟發(fā)和豐富數(shù)值分析研究的各種數(shù)學(xué)理論．這不像乍聽(tīng)起來(lái)那么簡(jiǎn)單，因?yàn)閬?lái)自不同大學(xué)的學(xué)生有不同的純數(shù)學(xué)知識(shí)，這一點(diǎn)我們不得不考慮．換言之，我們常常需要加以闡明，請(qǐng)那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)雄厚的讀者予以諒解——你們所需做的只是略過(guò)幾頁(yè)……★回憶一個(gè)數(shù)學(xué)概念和理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念之間有很大的差別．在讀數(shù)學(xué)文章時(shí)我經(jīng)常碰到一些概念，很熟悉而且我過(guò)去肯定碰到過(guò)．然而，要考我背出其準(zhǔn)確定義，我恐怕要考不及格．這種時(shí)候恰當(dāng)?shù)摹⒄y(tǒng)的做法應(yīng)當(dāng)是暫時(shí)停下來(lái)，走到附近的數(shù)學(xué)圖書(shū)館查一下有關(guān)資料．坦白地講，雖然我有時(shí)確實(shí)這么做，但更多時(shí)候，我只是繼續(xù)讀下去．我有充分的理由相信不只我一個(gè)人這么做．本書(shū)中我增加了一個(gè)名為“相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)約略導(dǎo)讀”的附錄，嘗試多少?gòu)浹a(bǔ)上述情況帶來(lái)的不便．該附錄粗略地介紹了一些數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要定義和定理——包括線性代數(shù)、初等泛函分析和逼近理論——學(xué)生們以前應(yīng)當(dāng)已接觸過(guò)這些內(nèi)容，但很可能已被遺忘．這樣做的目的既不是要取代那些初等的數(shù)學(xué)課程，也不是提供數(shù)學(xué)補(bǔ)遺．如果你過(guò)于頻繁地翻到書(shū)尾去查找某個(gè)定義，那么，我的朋友，也許你最好還是停下來(lái)去專(zhuān)心地學(xué)習(xí)一下相關(guān)的學(xué)科，使用一本合適的教材．相類(lèi)似，如果你總是遵循正統(tǒng)的做法，每有一點(diǎn)疑問(wèn)就去查閱有關(guān)資料，請(qǐng)恕我勸你別那樣循規(guī)蹈矩．★寫(xiě)數(shù)學(xué)文章的一個(gè)規(guī)矩是要指明援引資料的作者和出處．這不僅僅是為了滿(mǎn)足原作者的虛榮心，也是為了將文章記錄傳載下去，并使有興趣的讀者有機(jī)會(huì)查閱更進(jìn)一步的資料．談到這兒，我不禁懷疑起那些在教材中連篇累牘到處標(biāo)記引文出處的做法．其導(dǎo)致的情形可以想見(jiàn)，讀到一句“……假定x∈U，其中U是一個(gè)葉層器具［37］”，讀者就會(huì)去查閱一下參考文獻(xiàn)，找到“［37］”代表J.Bloggs發(fā)表于Pro.SDW的一篇論文，然后認(rèn)出“Pro.SDW”代表“可微器具協(xié)會(huì)會(huì)議記錄”，然后走到圖書(shū)館，找到這本雜志的位置（它還真在書(shū)架上，而不是租出去了，或放錯(cuò)了地方，或被偷了……）．如果是高深的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)論文，這樣做并不為過(guò)．但如果是本教材，這樣做就沒(méi)什么意義了．所以我所采取的做法是在正文中不標(biāo)出處，而在每章后面專(zhuān)設(shè)一節(jié)叫做“注釋與參考文獻(xiàn)”，在其中簡(jiǎn)要列出可能會(huì)對(duì)學(xué)生（和教師）有所幫助的更進(jìn)一步的文獻(xiàn)．這些小節(jié)還有一個(gè)重要的作用．可能會(huì)有一些學(xué)生（也許我太樂(lè)觀了？）對(duì)該章內(nèi)容感興趣，受到啟發(fā)而有意深入鉆研，為此，在每一節(jié)“注釋與參考文獻(xiàn)”之中我都簡(jiǎn)要地介紹了相關(guān)領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展、算法、分析的方法及其與其他數(shù)學(xué)分科的聯(lián)系．★表述的清晰與否常取決于所用的符號(hào)是否明了，因而，在全書(shū)中我們做如下約定：白體小寫(xiě)斜體字母（a，b，c，α，β，γ，…）代表標(biāo)量;黑體小寫(xiě)斜體字母（a，b，c，α，β，γ，…）代表向量;白體大寫(xiě)字母（A，B，C，…）代表算子．像i=-1和自然對(duì)數(shù)基底e這樣的數(shù)學(xué)常數(shù)以羅馬字體標(biāo)記，而不用斜體字母，這遵從了英國(guó)的排字習(xí)慣，并有助于區(qū)分一個(gè)數(shù)學(xué)公式中的不同元素．如同所有原則均有例外一樣，我們的符號(hào)約定也有其例外情況．比如，在3.1節(jié)，我們按以往的習(xí)慣，用Pn和Tn分別代表勒讓德多項(xiàng)式和切比雪夫多項(xiàng)式：任何其他表示方法都會(huì)招致混淆．此外，亦如所有其他原則一樣，意義不明，含混不清之處大量存在．我曾盡力引導(dǎo)讀者調(diào)動(dòng)其常識(shí)性的感覺(jué)來(lái)感知和理解這些說(shuō)不清的地方．但不用說(shuō)，這樣的理解具有相當(dāng)?shù)闹饔^性．本書(shū)源自?xún)商缀?jiǎn)縮的講稿：一套是面向第二組學(xué)生（劍橋數(shù)學(xué)本科階段最后一年）的；另一套是面向第三組學(xué)生（劍橋高級(jí)數(shù)學(xué)課程班）的．可是，將講稿擴(kuò)充為一整本教科書(shū)的工作可不像做杯熱湯那樣簡(jiǎn)單，不是濃汁加水?dāng)嚁囋僦笾缶屯晔麓蠹畬?xiě)這本書(shū)共花了我大半年時(shí)間，與此同時(shí)，還要進(jìn)行其他日常的學(xué)術(shù)研究工作．手稿的大部分寫(xiě)于1994年秋天，那時(shí)我正在加州理工學(xué)院（Caltech）休假，我很愿意在此感謝那里的許多好朋友的熱情款待，帕薩迪納的工作環(huán)境也非常之棒．一條熟知的計(jì)算機(jī)諺語(yǔ)說(shuō)，九成的編程工作需九成的時(shí)間，剩下一成的編程工作仍需九成時(shí)間……編寫(xiě)教材遵循類(lèi)似的規(guī)律，回到劍橋我花了幾個(gè)月的時(shí)間把手稿讀了又讀．在此，要感謝眾多的朋友和同事，他們給予我非常重要的幫助：BradBaxter（皇家學(xué)院，倫敦），MartinBuhmann（瑞士理工學(xué)院，蘇黎世），YuChungChang（加州理工學(xué)院），StephenCowley（劍橋），GeorgeGoodsell（劍橋），MikeHolst（加州理工學(xué)院），HerbKeller（加州理工學(xué)院），YorkeLiu（劍橋），MichelleSchatzman（里昂），AndrewStuart（斯坦福），StefanVandewalle（盧文）和AntonellaZanna（劍橋）．他們中有些人讀了手稿并提出了意見(jiàn)．有些人提供了計(jì)算實(shí)例．有些人以此書(shū)稿為教材在其學(xué)生中進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，并聽(tīng)取學(xué)生的反饋意見(jiàn)．有些人提供了寶貴的見(jiàn)解，使我免于犯令人尷尬的錯(cuò)誤．他們所有人都幫助我、鼓勵(lì)我，而且對(duì)我的缺點(diǎn)和個(gè)性寬容之至．盡管我誠(chéng)心誠(chéng)意盡了最大努力，書(shū)中一定還留有大大小小的錯(cuò)誤、打印錯(cuò)誤和不當(dāng)之處．對(duì)此，他們均不負(fù)任何責(zé)任．也許應(yīng)當(dāng)在此再感謝另外兩位“朋友”，他們使寫(xiě)書(shū)的過(guò)程大大簡(jiǎn)化：Tex排版系統(tǒng)和Matlab軟件包．當(dāng)今我們對(duì)數(shù)學(xué)排版系統(tǒng)習(xí)以為常，而常常忘了僅僅十年前數(shù)學(xué)文稿還是手寫(xiě)的，然后再一遍遍打印，最終由出版社排版，每一道程序中都要進(jìn)行艱難的校對(duì)．再說(shuō)說(shuō)Matlab，它是惟一能讓我們將辦公室變成一個(gè)計(jì)算、繪圖實(shí)驗(yàn)室的工具，使我們能從計(jì)算機(jī)屏幕彈射出新的想法，使我們能夠制造出富含信息的圖形和動(dòng)畫(huà)．自從咖啡被發(fā)現(xiàn)以來(lái)，還沒(méi)有哪樣非生物體給這么多的數(shù)學(xué)家?guī)?lái)這么大的快樂(lè)！劍橋出版社的編輯人員，特別是AlanHarvey，DavidTranah和RogerAstley，給予我們的幫助、友善和精誠(chéng)合作，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他們所應(yīng)承擔(dān)的義務(wù)．文字編輯SusanParkinson作出了最高水平的工作，她的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)、勤奮和高雅的品位化解了眾多的錯(cuò)誤，彌補(bǔ)了我的不足，奇跡般地為讀者鋪平了閱讀之路．很高興有機(jī)會(huì)在此向他們所有人致謝！最后，但絕不失半點(diǎn)誠(chéng)意和敬意，要感謝我的妻子和最好的朋友——Dganit.她的鼓勵(lì)、建議和支持無(wú)法以數(shù)字來(lái)計(jì)量，謝謝您！我想把這本書(shū)獻(xiàn)給我的父母，Gisella和Israel.他們不是數(shù)學(xué)家，然而我從他們身上學(xué)到了那些促使我成為數(shù)學(xué)家的東西：對(duì)學(xué)術(shù)的熱愛(ài)和對(duì)美與藝術(shù)的崇拜．

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