數值分析引論

第一章數值計算引論
1數值分析研究對象
2誤差來源及種類
3誤差的基本概念
3.1絕對誤差和相對誤差
3.2有效數字
4求函數值的誤差估計
5在數值計算中應注意的幾個問題
習題1
第二章插值法
1引言
2拉格朗日插值多項式
2.1插值基函數
2.2拉格朗日(Lagrange)插值多項式
2.3插值多項式的余項
2.4算法與例子
3逐步線性插值法
3.1列維爾算法
3.2算法與例子
4差商與牛頓插值多項式
4.1差商(均差)及性質
4.2牛頓插值多項式
4.3算法與例子
5差分,等距節(jié)點插值多項式
5.1差分及性質
5.2牛頓向前插值,向后插值公式
6埃爾米特插值
7分段插值法
7.1高次插值的龍格(Runge)現象
7.2分段線性插值
7.3分段三次埃爾米特插值
8三次樣條插值
8.1引言
8.2三次樣條插值函數的表達式
8.3三彎矩方程
8.4算法與例子
8.5三次樣條插值函數的收斂性
9*B樣條函數及性質
9.1半截冪函數
9.2樣條函數
9.3B樣條函數及性質
習題2
第三章函數與數據的逼近
1引言
2連續(xù)函數空間,正交多項式理論
2.1連續(xù)函數空間
2.2正交多項式理論
3最佳平方逼近
3.1法方程
3.2用多項式作最佳千方逼近
3.3用正交多項式作最佳平方逼近
4最小二乘逼近
4.1一般的最小二乘逼近
4.2算法與例子
4.3用正交多項式作曲線擬合算法
4.4非線性模型舉例
5*用6樣條作最小二乘逼近
6*近似最佳一致逼近多項式
6.1函數展開為Chebyshev級數
6.2拉格朗口插值余項的極小化
6.3泰勒級數的縮減
習題3
第四章數值積分與數值微分
1插值型數值求積公式
1.1一般求積公式及其代數精度
1.2插值型求積公式
1.3Newton-Cotes求積公式
1.4Newton-Cotes求積公式的余項
1.5Newton-Cotes公式的數值穩(wěn)定性和收斂性
2Gauss型求積公式
2.1最高代數精度求積公式
2,2Gauss點與正交多項式的聯系
2.3Gauss求積公式的余項
2.4Gauss求積公式的數值穩(wěn)定性和收斂性
2.5幾個常用的Gauss型求積公式
2.6*低階Gauss型求積公式構造方法
3復化數值求積公式
3.1復化數值求積法
3.2復化梯形公式
3.3復化Simpson公式
3.4復化求積公式的收斂階
4外推方法
4.1外推原理
4.2復化梯形公式余項的漸近展開
4.3Romberg算法
4.4*外推法的進一步討論
5自適應求積方法
5.1自適應計算問題
5.2自適應算法
6*奇異積分和振蕩函數積分的數值方法
6.1奇異積分計算
6.2振蕩函數積分的計算
7*二元函數數值積分
7.1矩形域上乘積型求積公式
7.2三角形域上面積坐標積分法
8數值微分
8.1插值函數法
8.2差分算子近似微分算子法
8.3*隱式方法
習題4
第五章解線性方程組的直接法
1引言
2初等矩陣
2.1初等下三角陣(高斯變換)
2.2初等置換陣
2.3初等反射陣(Householder變換)
2.4平面旋轉矩陣(Givens變換)
3高斯消去法
4高斯選主元素消去法
4.1完全主元素消去法
4.2列主元素消去法
4.3列主元高斯-約當消去法
5用直接三角分解法解線性方程組
5.1矩陣的三角分解
5.2不選主元三角分解法
5.3部分選主元三角分解法
6解對稱正定矩陣線性方程組的平方根法
6.1對稱正定矩陣及性質
6.2平方根法
6.3改進的平方根法
7解三對角線方程組的追趕法
8*用直接法解大型帶狀方程組
8.1用分解法解大型等帶寬方程組
8.2用改進平方根法解大型變帶寬對稱正定方程組
9向量,矩陣范數,矩陣的條件數
9.1向量,矩陣范數
9.2矩陣的條件數,病態(tài)方程組
9.3*關于病態(tài)方程組解法
10矩陣的正交分解(QR分解)
習題5
第六章解大型稀疏線性方程組的迭代法
1引言.例子
2基本迭代法
2.1雅可比(Jacobi)迭代法
2.2高斯-塞德爾迭代法(G-S)
2.3解大型稀疏線性方程組的逐次超松弛迭代法(SOR)
3迭代法的收斂性
3.1一階定常迭代法的基本定理
3.2關于解特殊線性方程組迭代法的收斂性
3.3*迭代法收斂速度
3.4分塊迭代法
4*梯度法
4.1等價性定理
4.2最速下降法
4.3共軛梯度法(CG)
習題6
第七章非線性方程(組)數值解法
1基礎知識
1.1非線性方程,非線性方程組
1.2非線性方程(組)求解的特點
1.3*映射的Jacobi陣和F導數
1.4收斂性和收斂階
2非線性方程的二分法和插值法
2.1二分法
2.2正割法
2.3拋物線法
2.4*反插值法
3解x＝g(x)的簡單迭代法
3.1簡單迭代法公式
3.2收斂定理
4迭代的加速法
4.1Aitken加速方法
4.2Steffenson迭代方法
5解f(x)＝0的Newton迭代法
5.1Newton迭代公式
5.2Newton法收斂定理
5.3Newton下[山法
5.4Newton迭代算法
6*解方程組x＝G(x)的簡單迭代法
6.1簡單迭代法
6.2簡單迭代的收斂性
7解方程組F(x)＝0的Newton法
7.1Newton法迭代公式
7.2收斂定理
7.3Newton下山法
7.4*m步Newton法
7.5算法
8*quasi-Newton法
8.1Broyden方法和一般quast-Newton法
8.2幾個秩2quasi-Newton法
習題7
第八章常微分方程數值解法
1基本概念
1.1常微分方程初值問題的一般解法
1.2初值問題數值解基本概念
2Euler方法
2.1顯式Euler方法
2.2隱式Euler方法和梯形方法
2.3預估-校正Euler方法
2.4單步法的局部截斷誤差.整體截斷誤差
3Taylor方法和Runge-Kutta方法
3.1Taylor方法
3.2Runge-Kutta方法的一般形式
3.3常用低階Runge-Kutta方法
3.4其它Runge-Kutta方法
4單步法的進一步討論
4.1收斂性與相容性
4.2穩(wěn)定性
4.3均勻步長重復Richardson外推法
4.4變步長自動選擇
5Adams方法和一般線性多步法
5.1Adams方法
5.2一般線性多步法
6線性多步法的收斂性與穩(wěn)定性
6.1*常系數線性差分方程
6.2線性多步法的方法穩(wěn)定性
6.3*數值穩(wěn)定性
7一階方程組初值問題數值方法
7.1數值方法推廣到方程組
7.2*剛性方程組
8*二階常微分方程邊值問題數值方法
8.1打靶法
8.2有限差分法
習題8
第九章矩陣特征值與特征向量計算方法
1引言
2冪法及反冪法
2.1冪法
2.2加速方法
2.3反冪法(或逆迭代)
3豪斯荷爾德方法
3.1正交相似變換約化一般矩陣為上Hessenberg陣
3.2正交相似變換約化對稱陣為對稱三對角陣
4QR算法
4.1引言
4.2QR算法及收斂性
4.3帶原點位移的QR方法
4.4用單步QR方法計算上Hessenberg陣特征值
4.5*穩(wěn)式對稱QR方法
5*計算對稱矩陣特征值的Jacobi方法
5.1引言
5.2古典Jacobi方法
5.3Jacobi過關法
習題9
參考文獻