大學(xué)數(shù)學(xué)考研專(zhuān)題復(fù)習(xí)（2005年修訂版）

第一章極限與連續(xù)………………………………………………………………………l
§1.1極限的概念與性質(zhì)……………………………………………………………1
1.1.1極限的基本概念………………………………………………………1
1.1.2極限的性質(zhì)…………………………………………………………………4
1.1.3數(shù)列與函數(shù)的某些特性的判斷……………………………………………8
§1.2函數(shù)的連續(xù)性…………………………………………………………………10
1.2.1　函數(shù)連續(xù)的概念……………………………………………………………10
1.2.2　函數(shù)間斷的概念……………………………………………………………12
1.2.3　閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)…………………………………………………15
§1.3極限存在的準(zhǔn)則………………………………………………………………16
§1.4極限的計(jì)算……………………………………………………………………22
1.4.1基本型不定式極限的計(jì)算…………………………………………………22
1.4.2冪指函數(shù)極限的計(jì)算………………………………………………………29
1.4.3極限中參數(shù)的確定…………………………………………………………32
1.4.4利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限……………………………………………………35
1.4.5利用定積分的定義求極限…………………………………………………36
1.4.6含有變限定積分的極限的計(jì)算……………………………………………38
練習(xí)一…………………………………………………………………………………40
第二章一元函數(shù)微分學(xué)…………………………………………………………………46
§2.1導(dǎo)數(shù)與微分的概念……………………………………………………………46
2.1.1導(dǎo)數(shù)的定義…………………………………………………………………46
2.1.2導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)……………………………………………………………48
2.1.3分段函數(shù)的可導(dǎo)性…………………………………………………………50
2.1.4微分的定義…………………………………………………………………52
§2.2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算與應(yīng)用……………………………………………………………53
2.2.1若干基本類(lèi)型函數(shù)的導(dǎo)數(shù)………………………………………………...53
2.2.2　高階導(dǎo)數(shù)……………………………………………………………………58
2.2.3　函數(shù)的最大值與最小值……………………………………………………62
§2.3導(dǎo)數(shù)的若干證明………………………………………………………………64
練習(xí)二…………………………………………………………………………………71
第三章一元函數(shù)積分學(xué)…………………………………………………………………77
§3.1　一元函數(shù)積分的概念與性質(zhì)…………………………………………………77
3.1.1　不定積分與定積分的概念與性質(zhì)…………………………………………77
3.1.2廣義積分的概念與性質(zhì)……………………………………………………80
§3.2變限定積分……………………………………………………………………83
3.2.1變限定積分函數(shù)的概念與性質(zhì)……………………………………………83
3.2.2　變限定積分函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性………………………………………86
3.2.3　變限定積分的導(dǎo)數(shù)與積分的計(jì)算…………………………………………88
§3.3積分的計(jì)算……………………………………………………………………90
3.3.1不定積分的計(jì)算……………………………………………………………90
3.3.2定積分的計(jì)算………………………………………………………………97
3.3.3分段函數(shù)的積分的計(jì)算…………………………………………………101
3.3.4廣義積分的計(jì)算…………………………………………………………103
§3.4定積分的若干證明…………………………………………………………105
練習(xí)三…………………………………………………………………………………110
第四章方程實(shí)根的討論…………………………………………………………………115
§4.1利用連續(xù)函數(shù)性質(zhì)討論方程的實(shí)根………………………………………115
§4.2結(jié)合函數(shù)性態(tài)分析討論方程的實(shí)根………………………………………118
§4.3利用微分中值定理討論方程的實(shí)根………………………………………119
§4.4結(jié)合定積分的性質(zhì)討論方程的實(shí)根……………………………………130
練習(xí)四…………………………………………………………………………………133
第五章無(wú)窮級(jí)數(shù)………………………………………………………………………138
§5.1無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概念………………………………………………………138
5.1.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念……………………………………………………138
5.1.2　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念…………………………………………………145
§5.2無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的判斷……………………………………………………146
§5.3冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)……………………………………………158
5.3.1冪級(jí)數(shù)收斂域的確定……………………………………………………158
5.3.2冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求取……………………………………………………161
5.3.3數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的求取………………………………………………………167
練習(xí)五…………………………………………………………………………………169
第六章一元函數(shù)及其性態(tài)………………………………………………………………173
§6.1　函數(shù)…………………………………………………………………………173
6.1.1　函數(shù)的概念………………………………………………………………173
6.1.2　函數(shù)構(gòu)造…………………………………………………………………178
§6.2　一元函數(shù)性態(tài)的分析……………………………………………………180
§6.3　函數(shù)的泰勒公式與泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)…………………………………………186
6.3.1　函數(shù)的泰勒公式…………………………………………………………186
6.3.2　函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)……………………………………………………188
§6.4　函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)……………………………………………………195
練習(xí)六…………………………………………………………………………………203
第七章常微分方程………………………………………………………………………207
§7.1　常微分方程的基本概念及其解的性質(zhì)……………………………………207
7.1.1　常微分方程的基本概念…………………………………………………207
7.1.2線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)與解的結(jié)構(gòu)理論………………………………209
§7.2線(xiàn)性微分方程………………………………………………………………210
7.2.1　一階線(xiàn)性微分方程………………………………………………………210
7.2.2常系數(shù)線(xiàn)性微分方程……………………………………………………216
7.2.3　變系數(shù)線(xiàn)性微分方程……………………………………………………218
§7.3非線(xiàn)性微分方程……………………………………………………………222
7.3.1利用變量代換求解微分方程……………………………………………222
7.3.2可降階的非線(xiàn)性微分方程………………………………………………228
§7.4微分方程的應(yīng)用問(wèn)題………………………………………………………229
練習(xí)七…………………………………………………………………………………232
第八章多元函數(shù)微分學(xué)…………………………………………………………………237
§8.1　多元函數(shù)的基本概念與性質(zhì)………………………………………………237
8.1.1　多元函數(shù)的概念與二元函數(shù)的泰勒公式………………………………237
8.1.2多元函數(shù)的極限與連續(xù)…………………………………………………238
8.1.3多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)………………………………………………………240
8.1.4全微分……………………………………………………………………244
§8.2偏導(dǎo)數(shù)與全微分的計(jì)算……………………………………………………248
§8.3　多元函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題………………………………………………………260
練習(xí)八………………………………………………………………………………265
第九章重積分……………………………………………………………………………269
§9.1　重積分的概念與性質(zhì)………………………………………………………269
§9.2重積分的計(jì)算………………………………………………………………278
§9.3無(wú)界區(qū)域上廣義重積分的概念與計(jì)算……………………………………286
練習(xí)九…………………………………………………………………………………287
第十章不等式的證明……………………………………………………………………292
§10.1利用基本不等式證明不等式………………………………………………292
§10.2利用導(dǎo)數(shù)證明不等式………………………………………………………294
§10.3定積分不等式的證明………………………………………………………305
§10.4重積分不等式的證明………………………………………………………319
"　練習(xí)十…………………………………………………………………………………325
第十一章積分的應(yīng)用……………………………………………………………………329
§11.1　積分的幾何應(yīng)用…………………………………………………………329
§11.2積分的物理應(yīng)用…………………………………………………………339
練習(xí)十一………………………………………………………………………………349
第十二章矢量代數(shù)·解析幾何·場(chǎng)論……………………………………………………351
§12.1　矢量代數(shù)……………………………………………………………………351
§12.2空間解析幾何………………………………………………………………355
12.2.1平面與直線(xiàn)………………………………………………………………355
12.2.2　空間曲面及其方程………………………………………………………363
12.2.3　空間曲線(xiàn)及其方程………………………………………………………366
§12.3場(chǎng)論初步……………………………………………………………………369
練習(xí)十二………………………………………………………………………………374
第十三章曲面積分與曲線(xiàn)積分…………………………………………………………377
§13.1　第一類(lèi)曲線(xiàn)積分與曲面積分………………………………………………377
13.1.1　第一類(lèi)曲線(xiàn)積分…………………………………………………………377
13.1.2第一類(lèi)曲面積分…………………………………………………………381
§13.2第二類(lèi)曲面積分……………………………………………………………384
13.2.1第二類(lèi)曲面積分的概念與性質(zhì)………………………………………385
13.2.2第二類(lèi)曲面積分的計(jì)算…………………………………………………386
§13.3第二類(lèi)曲線(xiàn)積分……………………………………………………………395
13.3.1第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的概念與性質(zhì)…………………………………………395
13.3.2　第二類(lèi)曲線(xiàn)積分的計(jì)算…………………………………………………397
13.3.3平面曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)………………………………………………406
13.3.4　曲線(xiàn)積分的不等式………………………………………………………411
練習(xí)十三………………………………………………………………………………412
第十四章函數(shù)方程………………………………………………………………………417
練習(xí)十四………………………………………………………………………………431
第十五章經(jīng)濟(jì)學(xué)中的若干數(shù)學(xué)問(wèn)題……………………………………………………434
§15.1微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………………434
15.1.1極限在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………………434
15.1.2利用定積分求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題…………………………………………435
15.1.3利用導(dǎo)數(shù)求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題……………………………………………438
15.1.4利用最優(yōu)化原則求解經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問(wèn)題……………………………………441
§15.2差分方程及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用…………………………………………444
練習(xí)十五………………………………………………………………………………447
第十六章行列式…………………………………………………………………………450
§16.1　咒階行列式的定義………………………………………………………450
§16.2行列式的計(jì)算………………………………………………………………452
16.2.1　可直接用定義求出的四類(lèi)基本形………………………………………452
16.2.2行列式的性質(zhì)……………………………………………………………453
16.2.3三種計(jì)算行列式的方法…………………………………………………457
16.2.4幾類(lèi)行列式………………………………………………………………463
16.2.5　用拉普拉斯定理得到的四類(lèi)行列式的基本形…………………………466
練習(xí)十六………………………………………………………………………………468
第十七章矩陣……………………………………………………………………………472
§17.1矩陣的概念和運(yùn)算…………………………………………………………472
17.1.1矩陣的概念和特殊矩陣…………………………………………………472
17.1.2矩陣的運(yùn)算………………………………………………………………474
§17.2矩陣的秩和等價(jià)……………………………………………………………488
17.2.1矩陣的秩…………………………………………………………………488
17.2.2矩陣的等價(jià)………………………………………………………………489
§17.3兩種方法：矩陣的分塊和等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形……………………………………491
練習(xí)十七………………………………………………………………………………495
第十八章線(xiàn)性方程組……………………………………………………………………500
§18.1解線(xiàn)性方程組的方法和理論………………………………………………500
§18.2解含有參數(shù)的線(xiàn)性方程組……………………………………………506
§18.3在解析幾何中的應(yīng)用………………………………………………………510
練習(xí)十八………………………………………………………………………………514
第十九章向量與向量空間………………………………………………………………517
§19.1　向量的概念和線(xiàn)性關(guān)系……………………………………………………517
19.1.1　向量的一些基本概念……………………………………………………517
.19.1.2　向量的線(xiàn)性關(guān)系…………………………………………………………517
19.1.3　向量線(xiàn)性關(guān)系的理論……………………………………………………520
§19.2　向量空間的一些基本的概念………………………………………………523
19.2.1　向量空間及子空間………………………………………………………523
19.2.2基，坐標(biāo)及基變換、坐標(biāo)變換……………………………………………525
19.2.3　內(nèi)積和標(biāo)準(zhǔn)正交基………………………………………………………527
§19.3用向量的觀點(diǎn)來(lái)看矩陣和線(xiàn)性方程組……………………………………529
§19.4兩組貫串前四章的典型題…………………………………………………532
練習(xí)十九………………………………………………………………………………535
第二十章矩陣的相似(特征值和特征向量)……………………………………………540
§20.1矩陣的相似和對(duì)角化………………………………………………………540
§20.2相似的理論和應(yīng)用…………………………………………………………545
§20.3　實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的對(duì)角化………………………………………………………552
20.3.1實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣………………………………………………………………552
20.3.2正交矩陣的性質(zhì)…………………………………………………………555
練習(xí)二十………………………………………………………………………………557
第二十一章二次型………………………………………………………………………561
§21.1二次型及標(biāo)準(zhǔn)形(矩陣的合同)……………………………………………561
21.1.1　二次型的定義及其矩陣表示……………………………………………561
21.1.2二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，矩陣的合同…………………………………562
§21.2正定二次型(正定矩陣)……………………………………………………568
§21.3矩陣的等價(jià)、相似、合同……………………………………………………573
21.3.1定義、判別法和性質(zhì)……………………………………………………574
21.3.2應(yīng)用………………………………………………………………………576
§21.4第三組題……………………………………………………………………577
練習(xí)二十一……………………………………………………………………………579
第二十二章概率論的基本概念…………………………………………………………584
§22.1　隨機(jī)事件與概率……………………………………………………………584
22.1.1隨機(jī)事件…………………………………………………………………584
22.1.2概率………………………………………………………………………586
22.1.3古典概率問(wèn)題的計(jì)算………………………………………………589
22.1.4)l-何概率的計(jì)算…………………………………………………………590
§22.2隨機(jī)變量及其分布…………………………………………………………591
22.2.1　離散型隨機(jī)變量…………………………………………………………591
22.2.2隨機(jī)變量的分布函數(shù)……………………………………………………596
22.2.3連續(xù)型隨機(jī)變量…………………………………………………………597
練習(xí)二十二……………………………………………………………………………603
第二十三章條件概率與條件分布………………………………………………………610
§23.1條件概率及有關(guān)公式………………………………………………………610
23.1.1條件概率…………………………………………………………………610
23.1.2乘法公式…………………………………………………………………611
23.1.3全概率公式………………………………………………………………612
23.1.4貝葉斯公式………………………………………………………………613
§23.2條件分布……………………………………………………………………614
23.2.1條件分布律………………………………………………………………614
23.2.2條件密度函數(shù)……………………………………………………………616
練習(xí)二十三……………………………………………………………………………617
第二十四章隨機(jī)變量的進(jìn)一步討論……………………………………………………621
§24.1　隨機(jī)變量的數(shù)字特征………………………………………………………621
24.1.1　隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差………………………………………621
24.1.2協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)………………………………………………………625
24.1.3矩…………………………………………………………………………626
24.1.4隨機(jī)變量之間關(guān)系小結(jié)…………………………………………………627
§24.2隨機(jī)變量函數(shù)的分布………………………………………………………629
24.2.1　離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布…………………………………………629
24.2.2一維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布………………………………………630
24.2.3二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布………………………………………631
§24.3極限定理……………………………………………………………………634
練習(xí)二十四……………………………………………………………………………636
第二十五章數(shù)理統(tǒng)計(jì)初步………………………………………………………………647
§25.1基本概念……………………………………………………………………647
§25.2參數(shù)估計(jì)……………………………………………………………………652
§25.3假設(shè)檢驗(yàn)……………………………………………………………………660
練習(xí)二十五……………………………………………………………………………665