數(shù)學與哲學（第二輯 06）

目 錄
一 “萬物皆數(shù)”觀點的破滅與再生———第一次數(shù)學危機與實數(shù)理論  / 1        
1.1 畢達哥拉斯學派的信條———萬物皆數(shù)  / 1
1.2 第一個無理數(shù)  / 2
1.3 無理數(shù)之謎  / 3
1.4 連續(xù)性的奧秘  / 4
1.5 戴德金分割  / 6
1.6 連續(xù)歸納原理  / 7
1.7 “萬物皆數(shù)”的再生  / 9
二 哪種幾何才是真的———非歐幾何與現(xiàn)代數(shù)學的“公理”  / 11        
2.1 歐幾里得的公理方法  / 11
2.2 歐幾里得的幾何定理是真理嗎  / 12
2.3 非歐幾何的發(fā)現(xiàn)  / 13
2.4 哪一個是真的  / 15
2.5 公理是什么  / 17
三 變量·無窮小·量的“鬼魂”———第二次數(shù)學危機與極限概念  / 19        
3.1 數(shù)學怎么描述運動與變化  / 20
3.2 瞬時速度  / 22
3.3 微分是量的鬼魂嗎  / 24
3.4 無窮小量的再生  / 26
四 自然數(shù)有多少———數(shù)學中的“實在無窮”概念  / 28        
4.1 伽利略的困惑  / 29
4.2 康托爾，闖入無窮王國的先鋒  / 30
4.3 希爾伯特的“無窮旅店”  / 32      
4.4 所有的無窮都一樣嗎  / 33
4.5 自然數(shù)究竟有多少  / 38
五 羅素悖論引起的軒然大波———第三次數(shù)學危機  / 40        
5.1 邏輯—集合—數(shù)  / 40
5.2 羅素悖論  / 42
5.3 集合的層次理論  / 43
5.4 集合論的公理化  / 44
5.5 連續(xù)統(tǒng)假設  / 45
5.6 地平線仍在前方  / 46
六 數(shù)是什么———對數(shù)學對象本質的幾種看法  / 49        
6.1 “1”是什么  / 49
6.2 柏拉圖主義———數(shù)存在于理念世界  / 51
6.3 唯名論觀點———數(shù)是紙上的符號或頭腦中特定的概念  / 54
6.4 康德:數(shù)是思維創(chuàng)造的抽象實體  / 55
6.5 約定論的觀點———數(shù)學規(guī)則不過是人的約定  / 56
6.6 邏輯主義———算術是邏輯的一部分  / 56
6.7 直覺主義———數(shù)學概念是自主的智力活動  / 58
6.8 形式主義———把數(shù)學化為關于有限符號排列的操作  / 60  
七 是真的，但又不能證明———哥德爾定理  / 63        
7.1 哥德爾定理  / 65
7.2 說謊者悖論與理查德悖論  / 66
7.3 算術有多少種  / 67
7.4 數(shù)學的力量與局限  / 69
八 數(shù)學與結構———布爾巴基學派的觀點  / 71        
8.1 在邏輯長鏈的背后  / 72
8.2 形形色色的加法  / 75
8.3 基本的結構  / 78
8.4 分析與綜合的藝術  / 81
九 命運決定還是意志自由———必然性與偶然性的數(shù)學思考  / 85        
9.1 兩種對立的哲學觀點  / 86
9.2 從偶然產(chǎn)生必然  / 91      
9.3 從必然產(chǎn)生偶然  / 93
9.4 一陣風或一口痰能影響民族的命運嗎  / 95
9.5 什么叫必然 什么叫偶然  / 97
十 舉例子能證明幾何定理嗎———演繹與歸納的對立與統(tǒng)一  / 101        
10.1 例證法———用演繹支持歸納  / 101
10.2 幾何定理也能用例子證明  / 103
10.3 進一步的思考  / 106  
十一 數(shù)學與哲學隨想  / 109        
11.1 數(shù)學的領域在擴大，哲學的地盤在縮小  / 109
11.2 數(shù)學始終在影響著哲學  / 110
11.3 抽象與具體  / 112
11.4 涉及具體問題時，語言必須準確嚴格  / 113
11.5 個別與一般  / 114
11.6 事物與概念  / 116
11.7 “我不需要這個假設”  / 117
11.8 證實與證偽  / 118
11.9 數(shù)學世界是人的創(chuàng)造，但它是客觀的  / 119
11.10 事物的總體性  / 120
11.11 變化中的不變  / 121
11.12 預 言  / 123
11.13 “沒有兩件事物完全一樣”  / 124
11.14 物極必反  / 125
11.15 量變與質變  / 125
11.16 羅素與“事素”  / 127
數(shù)學高端科普出版書目  / 129