數(shù)學(xué)物理方程

目錄
“大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書”序
前言
第1章 數(shù)學(xué)模型及二階線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn) 1
1.1 守恒律模型 1
1.1.1 弦振動(dòng)問(wèn)題 1
1.1.2 熱傳導(dǎo)問(wèn)題 5
1.1.3 理想流體力學(xué)方程組 7
1.1.4 帶電導(dǎo)體外的靜電場(chǎng) 12
1.2 變分模型 14
1.3 偏微分方程的基本概念 16
1.3.1 定義 16
1.3.2 定解條件和定解問(wèn)題 17
1.3.3 定解問(wèn)題的適定性 20
1.3.4 疊加原理 20
1.4 二階線性偏微分方程的分類與化簡(jiǎn) 21
1.4.1 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類 21
1.4.2 兩個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的化簡(jiǎn) 22
1.4.3 多個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的分類 26
習(xí)題 127
第2章 分離變量法 29
2.1 有界弦的自由振動(dòng)問(wèn)題 29
2.2 有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)問(wèn)題 33
2.3 特殊區(qū)域上拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題 37
2.3.1 矩形區(qū)域上拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題 37
2.3.2 圓域內(nèi)拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題 39
2.4 非齊次方程的定解問(wèn)題 42
2.4.1 有界弦的強(qiáng)迫振動(dòng)問(wèn)題 42
2.4.2 泊松方程的邊值問(wèn)題 45
2.5 非齊次邊界條件的定解問(wèn)題 46
習(xí)題 251
第3章 特征值問(wèn)題 53
3.1 施圖姆-劉維爾問(wèn)題 53
3.1.1 基本概念 53
3.1.2 施圖姆-劉維爾定理 54
3.2 貝塞爾函數(shù) 56
3.2.1 貝塞爾方程與貝塞爾函數(shù)的定義 56
3.2.2 貝塞爾函數(shù)的性質(zhì) 59
3.2.3 可化為貝塞爾方程的微分方程 62
3.3 貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用 63
3.3.1 貝塞爾方程的特征值問(wèn)題 64
3.3.2 貝塞爾函數(shù)的應(yīng)用舉例 66
習(xí)題 371
第4章 行波法 73
4.1 一維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題 73
4.1.1 達(dá)朗貝爾公式 73
4.1.2 達(dá)朗貝爾解的物理意義 74
4.1.3 依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域 75
4.1.4 齊次化原理 79
4.2 高維波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題 81
4.2.1 球平均法 81
4.2.2 降維法 86
4.2.3 非齊次波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題 88
4.2.4 依賴區(qū)域、決定區(qū)域和影響區(qū)域 90
4.2.5 惠更斯原理、波的彌散 92
習(xí)題 494
第5章 積分變換法 98
5.1 傅里葉變換的定義及性質(zhì) 98
5.2 傅里葉變換的應(yīng)用 104
5.2.1 一維熱傳導(dǎo)方程的柯西問(wèn)題 104
5.2.2 高維熱傳導(dǎo)方程的柯西問(wèn)題 105
5.2.3 一維弦振動(dòng)方程的柯西問(wèn)題 106
5.2.4 無(wú)界區(qū)域上的拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題 109
5.3 拉普拉斯變換的定義及性質(zhì) 111
5.4 拉普拉斯變換的應(yīng)用 116
習(xí)題 5121
第6章 格林函數(shù)法 124
6.1 廣義函數(shù)與δ函數(shù) 124
6.1.1 廣義函數(shù)的物理背景 124
6.1.2 廣義函數(shù)的定義與δ函數(shù) 124
6.1.3 廣義函數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算 128
6.1.4 基本解 137
6.2 橢圓方程的格林函數(shù) 138
6.2.1 格林公式 138
6.2.2 共軛微分算子與廣義解 138
6.2.3 橢圓方程邊值問(wèn)題的格林函數(shù) 140
6.2.4 橢圓方程邊值問(wèn)題的格林函數(shù)的結(jié)構(gòu)與基本解 147
6.2.5 特殊區(qū)域上的橢圓方程邊值問(wèn)題的格林函數(shù) 151
6.3 熱傳導(dǎo)方程的格林函數(shù) 159
6.3.1 熱傳導(dǎo)方程初值問(wèn)題的基本解和格林函數(shù) 159
6.3.2 熱傳導(dǎo)方程初邊值問(wèn)題的格林函數(shù) 162
6.4 波動(dòng)方程的格林函數(shù) 173
6.4.1 波動(dòng)方程初值問(wèn)題的基本解和格林函數(shù) 173
6.4.2 波動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的格林函數(shù) 179
習(xí)題 6187
第7章 非線性數(shù)學(xué)物理方程 189
7.1 非線性數(shù)學(xué)物理方程的行波解 189
7.2 直接積分法 190
7.3 Adomian分解法 199
7.4 Cole-Hopf變換 201
7.4.1 Burgers方程的Cole-Hopf變換 202
7.4.2 推廣的Cole-Hopf變換 204
7.5 反散射方法 206
7.5.1 GGKM變換 206
7.5.2 Schr*dinger方程勢(shì)場(chǎng)的孤立子解 207
7.5.3 KdV方程的初值問(wèn)題 208
習(xí)題 7212
參考文獻(xiàn) 214
附錄A 常微分方程和Γ函數(shù)及解析函數(shù)基礎(chǔ) 215
A.1 線性常微分方程 215
A.1.1 一階線性常微分方程 215
A.1.2 二階線性常微分方程 215
A.1.3 二階常系數(shù)齊次線性常微分方程 216
A.1.4 歐拉方程 216
A.2Γ函數(shù) 217
A.3 解析函數(shù) 218
附錄B 積分變換表 222
附錄C 參考答案 224
“大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)叢書”已出版書目