超形象考研數(shù)學(xué)講義：考研數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三，大學(xué)伴學(xué)通用（2022版）

高等數(shù)學(xué)
第一講 函數(shù)、極限、連續(xù)
大綱要求
知識講解
一、函數(shù)
題型一 函數(shù)的概念與性質(zhì)
二、極限
題型二 夾逼定理
題型三 單調(diào)有界準(zhǔn)則
題型四 無窮小的比較
題型五 普通未定式求極限
題型六 必須考察左、右極限的幾種函數(shù)
題型七 已知極限值，極限中待求常數(shù)的求法
題型八 無限項(xiàng)之積的極限的求法
三、連續(xù)
題型九 討論分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性
題型十 討論極限函數(shù)的連續(xù)性
題型十一 間斷點(diǎn)的判斷
題型十二 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用
第二講 導(dǎo)數(shù)與微分
大綱要求
知識講解
一、導(dǎo)數(shù)
題型一 導(dǎo)數(shù)的概念與定義
二、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
題型二 求導(dǎo)法則
題型三 分段函數(shù)可導(dǎo)性的判別及其導(dǎo)數(shù)的求法
題型四 絕對值函數(shù)的可導(dǎo)性判斷及導(dǎo)數(shù)求法
三、高階導(dǎo)數(shù)
四、微分
題型五 高階導(dǎo)數(shù)
第三講 微分學(xué)中值定理及其應(yīng)用
大綱要求
知識講解
一、微分中值定理
題型一 出現(xiàn)一個(gè)中值的中值等式命題的證法
題型二 兩個(gè)或兩個(gè)以上中值的中值等式證法
題型三 中值不等式命題的證法
題型四 區(qū)間上成立的函數(shù)不等式的證法
題型五 利用函數(shù)的性態(tài)討論方程根的個(gè)數(shù)
題型六 利用洛必達(dá)法則求極限
題型七 利用泰勒公式求極限
二、微分學(xué)的應(yīng)用
題型八 求最值
題型九 凹凸性與拐點(diǎn)
題型十 漸近線
第四講 不定積分
大綱要求
知識講解
一、原函數(shù)
題型一 原函數(shù)問題
二、不定積分
三、積分方法
題型二 第一換元法(湊微分法)的常見類型
題型三 用分部積分法求不定積分的技巧
四、特殊類型函數(shù)的積分(數(shù)一、數(shù)二)
題型四 有理函數(shù)積分的計(jì)算(數(shù)一、數(shù)二)
題型五 無理函數(shù)的不定積分的求法
第五講 定積分及應(yīng)用
大綱要求
知識講解
一、定積分
題型一 利用定積分定義求極限
二、定積分的性質(zhì)
三、微積分基本定理
題型二 奇偶函數(shù)的積分性質(zhì)
題型三 變限積分的導(dǎo)數(shù)
題型四 變限積分性質(zhì)的討論與證明
題型五 極限變量僅含在被積函數(shù)中的定積分極限的
求證法
題型六 與定積分或變限積分有關(guān)的方程，其根存在性
的證法
四、定積分的計(jì)算方法
題型七 用定積分的換元積分法結(jié)論計(jì)算
題型八 分部積分
五、反常積分
題型九 反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e
題型十 反常積分求解
六、定積分的應(yīng)用
題型十一 平面圖形的面積
題型十二 體積求解
題型十三 弧長求解(數(shù)一、數(shù)二)
題型十四 定積分的物理應(yīng)用
第六講 常微分方程
大綱要求
知識講解
一、常微分方程的概念
二、一階微分方程
三、可降階微分方程(數(shù)一、數(shù)二)
題型一 可分離變量與齊次微分方程
題型二 一階線性方程的解法
題型三 可降階微分方程(數(shù)一、數(shù)二)
四、線性微分方程解的性質(zhì)
五、高階常系數(shù)線性微分方程
六、歐拉(Euler)方程(數(shù)一)
七、微分算子法（了解）
題型四 二階常系數(shù)線性齊次方程的解法
題型五 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法
題型六 疊加原理的運(yùn)用
題型七 特殊的微分方程
題型八 已知微分方程的解，反求其微分方程
題型九 利用微分方程求解幾類函數(shù)方程
題型十 微分方程在幾何上應(yīng)用舉例
題型十一 微分方程在物理上應(yīng)用舉例
第七講 向量代數(shù)與空間解析幾何（僅數(shù)一）
大綱要求
知識講解
一、向量
題型一 向量
二、直線與平面
題型二 平面方程與直線方程
題型三 位置關(guān)系
題型四 距離
三、曲面與空間曲線
題型五 旋轉(zhuǎn)曲面方程
題型六 空間曲線的切線與法平面及曲面的切平面與
法線的求法
題型七 投影
第八講 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用
大綱要求
知識講解
一、多元函數(shù)、極限、連續(xù)性
題型一 用一元函數(shù)極限方法求解多元函數(shù)極限
題型二 用夾逼準(zhǔn)則求解多元函數(shù)極限
二、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分
題型三 多元顯函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法
題型四 多元復(fù)合函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算
題型五 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求法
題型六 由方程組確定的隱函數(shù)，其偏導(dǎo)數(shù)的求法
題型七 偏導(dǎo)數(shù)結(jié)合方程關(guān)系的問題
題型八 驗(yàn)證是否可微
題型九 多元函數(shù)的全微分求法
題型十 方向?qū)?shù)與梯度（僅數(shù)一）
三、微分學(xué)的應(yīng)用
題型十一 多元函數(shù)的無條件極值的求法
題型十二 多元函數(shù)的條件極值的求法
第九講 重積分
大綱要求
知識講解
一、二重積分
題型一 在哪些情況下需調(diào)換二次積分的次序
題型二 二重積分需分區(qū)域積分的幾種情況
題型三 極坐標(biāo)與變量替換
題型四 利用奇偶對稱，輪換對稱求解
題型五 被積函數(shù)不是初等函數(shù)
題型六 利用二重積分的幾何意義或物理意義簡化計(jì)算
題型七 二重積分（或可化為二重積分）的等式和不等式
證法
題型八 由重積分定義的函數(shù)的求法
題型九 由重積分定義的函數(shù)的極限的求法
題型十 二重積分中值定理（考綱新增）
二、三重積分（僅數(shù)一）
三、重積分的應(yīng)用（僅數(shù)一）
題型十一 三重積分用先二后一法計(jì)算
題型十二 計(jì)算三重積分如何選擇坐標(biāo)系
題型十三 利用奇偶對稱性簡化三重積分的計(jì)算
題型十四 利用輪換對稱性簡化計(jì)算
題型十五 重積分應(yīng)用：立體體積的算法
題型十六 重積分應(yīng)用：曲面面積的求法
題型十七 重積分應(yīng)用：求重心（形心）
題型十八 重積分應(yīng)用：求轉(zhuǎn)動慣量
第十講 無窮級數(shù)（數(shù)一、數(shù)三）
大綱要求
知識講解
一、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì)
二、正項(xiàng)級數(shù)的斂散性的判別
題型一 正項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別方法
三、任意項(xiàng)級數(shù)
題型二 交錯級數(shù)斂散性的判別方法
題型三 任意項(xiàng)級數(shù)斂散性的判別法
題型四 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的證法
四、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)
五、冪級數(shù)
題型五 冪級數(shù)收斂域的求法
題型六 不是冪級數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其收斂域的求法
題型七 冪級數(shù)的和函數(shù)的求法
題型八 函數(shù)展為冪級數(shù)的方法
題型九 收斂的常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和的求法
六、傅里葉級數(shù)（數(shù)一）
題型十 與傅里葉級數(shù)有關(guān)的幾類問題的解法
第十一講 曲線積分與曲面積分（僅數(shù)一）
大綱要求
知識講解
一、曲線積分
題型一 計(jì)算第一類曲線積分的方法與技巧
題型二 利用對稱性簡化積分計(jì)算
題型三 第二類曲線積分的算法
二、曲面積分
題型四 計(jì)算第一類曲面積分的方法與技巧
題型五 利用對稱性簡化計(jì)算
題型六 計(jì)算第二類曲面積分的方法與技巧
題型七 曲線積分的應(yīng)用
三、三大公式及其應(yīng)用
四、通量、散度、旋度
題型八 積分與路徑無關(guān)
題型九 正確應(yīng)用格林公式
題型十 全微分方程
題型十一 如何應(yīng)用高斯公式計(jì)算曲面積分
題型十二 梯度、散度、旋度的綜合計(jì)算
題型十三 第二類(對坐標(biāo)的)空間曲線積分的算法
第十二講 數(shù)學(xué)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用（僅數(shù)學(xué)三）
大綱要求
知識講解
一、差分方程
題型一 差分方程
二、邊際與彈性
題型二 邊際與彈性
三、價(jià)值與利息
題型三 價(jià)值與利息
線性代數(shù)
第一講 行列式
大綱要求
知識講解
一、行列式的概念
二、行列式性質(zhì)
題型一 行列式的定義與性質(zhì)
題型二 抽象行列式的計(jì)算
題型三 行列式與方程結(jié)合的問題
三、行列式的展開定理
題型四 行列式的展開計(jì)算
題型五 幾種特殊的行列式
四、范德蒙行列式
題型六 范德蒙行列式
五、克萊姆法則
題型七 克萊姆法則
第二講 矩陣
大綱要求
知識講解
一、矩陣的定義
二、矩陣的運(yùn)算
題型一 矩陣的運(yùn)算
題型二 矩陣的行列式
三、逆矩陣
題型三 逆矩陣直接求解
題型四 伴隨矩陣問題
題型五 恒等變形求逆矩陣
題型六 求解矩陣方程
四、矩陣的初等變換和初等矩陣
題型七 初等矩陣的運(yùn)算
五、分塊矩陣
題型八 分塊矩陣的計(jì)算
第三講 向量
大綱要求
知識講解
一、n維向量的概念與運(yùn)算
二、線性組合、線性表出
三、線性相關(guān)性
四、向量組的極大無關(guān)組與秩
五、矩陣的秩
題型一 判斷線性相關(guān)、線性無關(guān)
題型二 判斷能否線性表出
題型三 向量組的秩，矩陣的秩
題型四 已知秩，求待定常數(shù)
六、向量空間
題型五 正交矩陣
題型六 向量空間
第四講 線性方程組
大綱要求
知識講解
一、線性方程組的三種表達(dá)形式、解與通解
二、齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)
題型一 判斷齊次線性方程組解的情況
題型二 基礎(chǔ)解系相關(guān)討論
題型三 已知解，反求方程組
三、非齊次線性方程組有解的條件及解的結(jié)構(gòu)
題型四 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)
題型五 非齊次線性方程組求解
題型六 方程組與向量結(jié)合的問題
題型七 方程組公共解、同解問題
第五講 特征值、特征向量、相似對角化
大綱要求
知識講解
一、方陣的特征值和特征向量
題型一 特征值與特征向量的概念與性質(zhì)
題型二 特征值與特征向量的計(jì)算
題型三 相關(guān)矩陣的特征值、特征向量
二、相似矩陣的概念與性質(zhì)、方陣對角化的條件
三、判斷矩陣A是否可相似對角化的解題步驟
題型四 判斷是否可對角化
題型五 判斷兩個(gè)矩陣是否相似
四、實(shí)對稱矩陣的相似對角化
題型六 對角化的計(jì)算
題型七 用對角陣求高次冪
題型八 已知特征值、特征向量，反求矩陣
第六講 二次型
大綱要求
知識講解
一、二次型的定義、矩陣表示、標(biāo)準(zhǔn)形
題型一 二次型的定義
二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
題型二 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、規(guī)范型
題型三 已知標(biāo)準(zhǔn)型，確定二次型
題型四 判斷兩個(gè)矩陣是否合同
三、慣性定理、正定二次型、負(fù)定二次型
題型五 判別或證明具體二次型的正定性
題型六 判別或證明抽象二次型的正定性
題型七 確定參數(shù)的取值范圍使其正定
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(數(shù)一、數(shù)三)
第一講 隨機(jī)事件和概率
大綱要求
知識講解
一、兩個(gè)基本原理
二、隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間
三、隨機(jī)事件
四、事件間的關(guān)系與運(yùn)算
五、隨機(jī)事件的概率
題型一 古典概型
題型二 幾何概型
題型三 事件的關(guān)系與運(yùn)算律
題型四 和、差、積事件的概率
題型五 條件概率
題型六 全概率公式與貝葉斯公式
題型七 事件的獨(dú)立性
第二講 一維隨機(jī)變量及其分布
大綱要求
知識講解
一、隨機(jī)變量
二、離散型隨機(jī)變量及其分布
三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)
四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布
題型一 一維隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及性質(zhì)
題型二 離散型隨機(jī)變量分布律
題型三 連續(xù)型隨機(jī)變量的概念與計(jì)算
題型四 用常見分布計(jì)算有關(guān)事件的概率
題型五 二次方程有根、無根的概率
五、隨機(jī)變量函數(shù)的分布
題型六 一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布
第三講 二維隨機(jī)變量及其分布
大綱要求
知識講解
一、二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)
二、二維離散型隨機(jī)變量
題型一 二維離散型隨機(jī)變量的分布律
三、二維連續(xù)型隨機(jī)變量
題型二 二維連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度
題型三 二維連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)
題型四 條件概率密度
四、二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布
題型五 兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布
題型六 卷積公式的運(yùn)用
題型七 離散型與連續(xù)型函數(shù)的分布
第四講 隨機(jī)變量的數(shù)字特征
大綱要求
知識講解
一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
二、隨機(jī)變量的方差
題型一 期望與方差的計(jì)算
題型二 隨機(jī)變量函數(shù)的期望與方差
題型三 隨機(jī)變量最大、最小值的期望與方差
題型四 已知期望，求概率
三、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)
題型五 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)
題型六 不相關(guān)與獨(dú)立
第五講 大數(shù)定律和中心極限定理
大綱要求
知識講解
一、切比雪夫不等式
二、大數(shù)定律
三、中心極限定理
題型一 用切比雪夫不等式估計(jì)事件的概率
題型二 大數(shù)定律
題型三 中心極限定理
第六講 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念
大綱要求
知識講解
一、總體和樣本
二、樣本矩
三、常用統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布
四、正態(tài)總體的抽樣分布
題型一 求統(tǒng)計(jì)量分布有關(guān)的基本概念問題
題型二 求統(tǒng)計(jì)量的分布及其分布參數(shù)
題型三 求統(tǒng)計(jì)量取值的概率
第七講 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)
大綱要求
知識講解
一、點(diǎn)估計(jì)
題型一 矩估計(jì)與最大似然估計(jì)
題型二 估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)（數(shù)一）
二、區(qū)間估計(jì)（數(shù)一）
題型三 區(qū)間估計(jì)（數(shù)一）
二、假設(shè)檢驗(yàn)（數(shù)一）
題型四 兩類錯誤概率（數(shù)一）
題型五 假設(shè)檢驗(yàn)（數(shù)一）