工科微分流形研究導(dǎo)論

1 流形的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)
1.1 空間Rn及其拓?fù)?br /> 1.2 映射
1.3 實(shí)分析
1.3.1 解析性
1.3.2 算符
1.3.3 換位子
1.4 群論
1.4.1 定義
1.4.2 李群
1.4.3 子群
1.4.4 同構(gòu)和同態(tài)
1.5 小結(jié)
2 拓?fù)淞餍蔚膩?lái)源和演變
2.1 微分流形的來(lái)源
2.2 流形概念的演變
2.3 小結(jié)
思考和練習(xí)題
3 微分流形
3.1 微分流形中重要的術(shù)語(yǔ)
3.1.1 拓?fù)淞餍?br /> 3.1.2 光滑映射基礎(chǔ)
3.1.3 微分流形
3.1.4 商流形
3.1.5 單位分解定理
3.2 切向量和切空間
3.2.1 歐氏空間的切向量
3.2.2 微分流形的切向量
3.2.3 切空間
3.2.4 余切空間
3.2.5 切空間與余切空間中的基變換
3.3 切映射
3.3.1 函數(shù)的拉回
3.3.2 切映射
3.3.3 切映射的局部坐標(biāo)表示
3.3.4 余切映射
3.4 向量和向量場(chǎng)
3.5 小結(jié)
思考和練習(xí)題
4 映射和張量
4.1 從線(xiàn)性變換談起
4.2 映射
4.2.1 雙線(xiàn)性函數(shù)與矩陣、二次型之間的關(guān)系
4.2.2 雙線(xiàn)性函數(shù)空間
4.2.3 線(xiàn)性空間的張量積及泛性（同調(diào)代數(shù)中一個(gè)重要性質(zhì)）
4.2.4 線(xiàn)性對(duì)偶
4.2.5 映射的微分
4.2.6 反函數(shù)定理
4.2.7 秩定理
4.3 張量
4.3.1 基本定義
4.3.2 張量的計(jì)算
4.3.3 度量張量
4.3.4 流形上的度量張量場(chǎng)
4.4 小結(jié)
4.4.1 基本概念
4.4.2 主要結(jié)論
思考和練習(xí)題
5 李導(dǎo)數(shù)、李代數(shù)和李群
5.1 李導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)出
5.1.1 矢量場(chǎng)和積分曲線(xiàn)
5.1.2 d/dλ算符的求冪
5.1.3 李括號(hào)、非坐標(biāo)基和李代數(shù)
5.1.4 李拉曳
5.2 李導(dǎo)數(shù)
5.2.1 李導(dǎo)數(shù)的基本概念
5.2.2 李導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)
5.2.3 李導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
5.2.4 李導(dǎo)數(shù)的一個(gè)應(yīng)用實(shí)例：S2的生成元
5.3 李代數(shù)
5.3.1 李代數(shù)的基本定義
5.3.2 基靈矢量場(chǎng)
5.3.3 矢量場(chǎng)和粒子動(dòng)力學(xué)的守恒量
5.3.4 軸對(duì)稱(chēng)性
5.4 李群
5.4.1 抽象李群
5.4.2 李群的實(shí)例
5.5 李代數(shù)和它們的群
5.5.1 李括號(hào)的一般定義
5.5.2 覆蓋
5.5.3 SU（2）
5.5.4 SU（2）的冪
5.5.5 SO（3）的冪
5.5.6 SU（2）涵蓋SO（3）
5.5.7 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
5.6 小結(jié)
思考和練習(xí)題
6 微分形式的代數(shù)和微積分計(jì)算
6.1 微分形式的代數(shù)
6.1.1 體積的定義
6.1.2 反對(duì)稱(chēng)張量的記法和定義
6.1.3 微分形式
6.1.4 微分形式的運(yùn)算
6.1.5 1-微分形式和狄拉克δ函數(shù)
6.1.6 1-微分形式的梯度和表示
6.1.7 基1-微分形式和1-微分形式的分量
6.1.8 指數(shù)記號(hào)
6.2 微分形式的積分計(jì)算
6.2.1 微分形式的外積（展開(kāi)）
6.2.2 微分形式的限制
6.2.3 微分形式的場(chǎng)
6.2.4 手征性與可定向性
6.2.5 體積和可定向流形上的積分
6.3 微分形式的代數(shù)（進(jìn)一步展開(kāi)）
6.3.1 N-矢量，對(duì)偶，符號(hào)εij…k
6.3.2 張量密度
6.3.3 廣義的克羅內(nèi)克函數(shù)
6.3.4 行列式和εij
6.3.5 度量體積元素
6.4 微分形式的微分
6.4.1 外微分
6.4.2 外微分的常見(jiàn)例子
6.4.3 微分的外積運(yùn)算
6.4.4 外微分式及其外微分式的外積運(yùn)算
6.4.5 多變量積分中的積分微元代換公式
6.4.6 各階外微分式的外微分運(yùn)算
6.4.7 牛頓-萊布尼茲公式，斯托克斯公式，格林公式高斯公式的統(tǒng)一描述
6.4.8 龐加萊引理及其逆
6.5 小結(jié)
思考和練習(xí)題
參考文獻(xiàn)