數(shù)值分析與算法

第1章 數(shù)值計(jì)算導(dǎo)論
1.1 概述
1.1.1 數(shù)值計(jì)算與數(shù)值算法
1.1.2 數(shù)值計(jì)算的問(wèn)題與策略
1.1.3 數(shù)值計(jì)算軟件
1.2 誤差分析基礎(chǔ)
1.2.1 數(shù)值計(jì)算的近似
1.2.2 誤差及其分類
1.2.3 問(wèn)題的敏感性與數(shù)據(jù)傳遞誤差估算
1.2.4 算法的穩(wěn)定性
1.3 計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)與舍入誤差
1.3.1 計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)數(shù)系統(tǒng)
1.3.2 舍入與機(jī)器精度
1.3.3?? 浮點(diǎn)運(yùn)算的舍入誤差
1.3.4 抵消現(xiàn)象
1.4 保證數(shù)值計(jì)算的準(zhǔn)確性
1.4.1 減少舍入誤差的幾條建議
1.4.2 影響結(jié)果準(zhǔn)確性的主要因素
評(píng)注
算法背后的歷史： 浮點(diǎn)運(yùn)算的先驅(qū)--威廉·卡亨
練習(xí)題
上機(jī)題第2章 非線性方程求根
2.1 引言
2.1.1 非線性方程的解
2.1.2 問(wèn)題的敏感性
2.2 二分法
2.2.1 方法原理
2.2.2 算法穩(wěn)定性和結(jié)果準(zhǔn)確度
2.3 不動(dòng)點(diǎn)迭代法
2.3.1 基本原理
2.3.2 全局收斂的充分條件
2.3.3 局部收斂性
2.3.4 穩(wěn)定性與收斂階
2.4 牛頓迭代法
2.4.1 方法原理
2.4.2 重根的情況
2.4.3 判停準(zhǔn)則
2.4.4 牛頓法的問(wèn)題
2.5 割線法與拋物線法
2.5.1 割線法
2.5.2?? 拋物線法
2.6 實(shí)用的方程求根技術(shù)
2.6.1 阻尼牛頓法
2.6.2?? 多項(xiàng)式方程求根
2.6.3?? 通用求根算法zeroin
應(yīng)用實(shí)例： 城市水管應(yīng)埋于地下多深？
2.7 非線性方程組和有關(guān)數(shù)值軟件
2.7.1?? 非線性方程組
2.7.2 非線性方程求根的相關(guān)軟件
評(píng)述
算法背后的歷史： 牛頓與牛頓法
練習(xí)題
上機(jī)題第3章 線性方程組的直接解法
3.1 基本概念與問(wèn)題的敏感性
3.1.1 線性代數(shù)中的有關(guān)概念
3.1.2 向量范數(shù)與矩陣范數(shù)
3.1.3 問(wèn)題的敏感性與矩陣條件數(shù)
3.2 高斯消去法
3.2.1 基本的高斯消去法
3.2.2 高斯-若當(dāng)消去法
3.3 矩陣的LU分解
3.3.1 高斯消去過(guò)程的矩陣形式
3.3.2 矩陣的直接LU分解算法
3.3.3 LU分解的用途
3.4 選主元技術(shù)與算法穩(wěn)定性
3.4.1 為什么要選主元
3.4.2 使用部分主元技術(shù)的LU分解
3.4.3 其他選主元技術(shù)
3.4.4 算法的穩(wěn)定性
3.5 對(duì)稱正定矩陣與帶狀矩陣的解法
3.5.1 對(duì)稱正定矩陣的Cholesky分解
3.5.2 帶狀線性方程組的解法
應(yīng)用實(shí)例: 穩(wěn)態(tài)電路的求解
3.6 有關(guān)稀疏線性方程組的實(shí)用技術(shù)
3.6.1 稀疏矩陣基本概念
3.6.2 MATLAB中的相關(guān)功能
3.7 有關(guān)數(shù)值軟件
評(píng)述
算法背后的歷史: 威爾金森與數(shù)值分析
練習(xí)題
上機(jī)題第4章 線性方程組的迭代解法
4.1 迭代解法的基本理論
4.1.1 基本概念
4.1.2 1階定常迭代法的收斂性
4.1.3 收斂階與收斂速度
4.2 經(jīng)典迭代法
4.2.1 雅可比迭代法
4.2.2 高斯-賽德?tīng)柕?br />4.2.3 逐次超松弛迭代法
4.2.4 三種迭代法的收斂條件
應(yīng)用實(shí)例： 桁架結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析
4.3 共軛梯度法
4.3.1 最速下降法
4.3.2?共軛梯度法
4.4 各種方法的比較
4.4.1 迭代法之間的比較
4.4.2 直接法與迭代法的對(duì)比
4.5 有關(guān)數(shù)值軟件
評(píng)述
算法背后的歷史： 雅可比
練習(xí)題
上機(jī)題第5章 矩陣特征值計(jì)算
5.1 基本概念與特征值分布
5.1.1 基本概念與性質(zhì)
5.1.2 特征值分布范圍的估計(jì)
5.2 冪法與反冪法
5.2.1 冪法
5.2.2 加速收斂的方法
5.2.3 反冪法159應(yīng)用實(shí)例： Google的PageRank算法
5.3 矩陣的正交三角化
5.3.1 Householder變換
5.3.2 Givens旋轉(zhuǎn)變換
5.3.3 矩陣的QR分解
5.4 所有特征值的計(jì)算與QR算法
5.4.1 收縮技術(shù)
5.4.2 基本QR算法
5.4.3?實(shí)用QR算法的有關(guān)技術(shù)
5.5 有關(guān)數(shù)值軟件
評(píng)述
算法背后的歷史： A.Householder與矩陣分解
練習(xí)題
上機(jī)題第6章 函數(shù)逼近與函數(shù)插值
6.1 函數(shù)逼近的基本概念
6.1.1 函數(shù)空間
6.1.2 函數(shù)逼近的不同類型
6.2 連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近
6.2.1 一般的法方程方法
6.2.2 用正交函數(shù)族進(jìn)行逼近
6.3 曲線擬合的最小二乘法
6.3.1 問(wèn)題的矩陣形式與法方程法
6.3.2 用正交化方法求解最小二乘問(wèn)題
應(yīng)用實(shí)例: 原子彈爆炸的能量估計(jì)
6.4 函數(shù)插值與拉格朗日插值法
6.4.1 插值的基本概念
6.4.2 拉格朗日插值法
6.4.3 多項(xiàng)式插值的誤差估計(jì)
6.5 牛頓插值法
6.5.1 基本思想
6.5.2 差商與牛頓插值公式
6.6 分段多項(xiàng)式插值
6.6.1 高次多項(xiàng)式插值的病態(tài)性質(zhì)
6.6.2 分段線性插值
6.6.3 分段埃爾米特插值
6.6.4 保形分段插值
6.7 樣條插值函數(shù)
6.7.1 三次樣條插值
6.7.2 三次樣條插值函數(shù)的構(gòu)造
6.7.3 B-樣條函數(shù)
評(píng)述
算法背后的歷史: 拉格朗日與插值法
練習(xí)題
上機(jī)題第7章 數(shù)值積分與數(shù)值微分
7.1 數(shù)值積分概論
7.1.1 基本思想
7.1.2 求積公式的積分余項(xiàng)與代數(shù)精度
7.1.3 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性
7.2 牛頓-柯特斯公式
7.2.1 柯特斯系數(shù)與幾個(gè)低階公式
7.2.2 牛頓-柯特斯公式的代數(shù)精度
7.2.3 幾個(gè)低階公式的余項(xiàng)
7.3 復(fù)合求積公式
7.3.1 復(fù)合梯形公式
7.3.2 復(fù)合辛普森公式
7.3.3 步長(zhǎng)折半的復(fù)合求積公式計(jì)算
7.4 Remberg積分算法
7.4.1 復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)展開式
7.4.2 理查森外推法
7.4.3 Romberg算法
7.5 自適應(yīng)積分算法
7.5.1 自適應(yīng)積分的原理
7.5.2?? 一個(gè)具體的自適應(yīng)積分算法
7.6 高斯求積公式
7.6.1 一般理論
7.6.2 高斯-勒讓德積分公式及其他
應(yīng)用實(shí)例： 探月衛(wèi)星軌道長(zhǎng)度計(jì)算
7.7 數(shù)值微分
7.7.1 基本的有限差分公式
7.7.2 插值型求導(dǎo)公式
7.7.3 數(shù)值微分的外推算法
評(píng)述
算法背后的歷史： “數(shù)學(xué)王子”高斯
練習(xí)題
上機(jī)題第8章 常微分方程初值問(wèn)題的解法
8.1 引言
8.1.1 問(wèn)題分類與可解性
8.1.2 問(wèn)題的敏感性
8.2 簡(jiǎn)單的數(shù)值解法與有關(guān)概念
8.2.1 歐拉法
8.2.2 數(shù)值解法的穩(wěn)定性與準(zhǔn)確度
8.2.3 向后歐拉法與梯形法
8.3 龍格-庫(kù)塔方法
8.3.1 基本思想
8.3.2 幾種顯式R-K公式
8.3.3 顯式R-K公式的穩(wěn)定性與收斂性
8.3.4?自動(dòng)變步長(zhǎng)的R-K方法
8.4 多步法
8.4.1 多步法公式的推導(dǎo)
8.4.2 Adams公式
8.4.3 更多討論
8.5　常微分方程組與實(shí)用技術(shù)
8.5.1 1階常微分方程組
8.5.2 MATLAB中的實(shí)用ODE求解器
應(yīng)用實(shí)例: 洛倫茲吸引子
評(píng)述
算法背后的歷史: “數(shù)學(xué)家之英雄”歐拉
練習(xí)題
上機(jī)題附錄A 有關(guān)數(shù)學(xué)記號(hào)的說(shuō)明
附錄B MATLAB簡(jiǎn)介
附錄C 部分習(xí)題答案
索引
參考文獻(xiàn)