離散數(shù)學

第1篇    集合論
第1章  集合
  1.1  集合的概念與表示法
           1.1.1  集合的概念
           1.1.2  特殊集合    
           1.1.3  集合的表示法
  習題1.1
  1.2  集合之間的關(guān)系
           1.2.1  包含關(guān)系與子集
           1.2.2  相等關(guān)系  
           1.2.3  真包含與真子集
           1.2.4  冪集    
           1.2.5  集族與總族
           1.2.6  一種輔助分析集合與集合元素之間關(guān)系的有效方法          
  習題1.2
  1.3  集合的運算
           1.3.1  基本運算
           1.3.2  文氏圖    
           1.3.3  運算性質(zhì)      
           1.3.4  對運算定律的否定的證明方法    
  習題1.3
  1.4  笛卡兒積
           1.4.1  序?qū)?br />           1.4.2  笛卡兒積(叉積)
           1.4.3  運算性質(zhì)
  習題1.4
  1.5  有限集合的基數(shù)
  習題1.5
    1.6  數(shù)學歸納法與自然數(shù)
           1.6.1  歸納定義  
           1.6.2  自然數(shù)      
           1.6.3  歸納證明  
  習題1.6
    1.7  語言上的運算
           1.7.1  串及其運算
           1.7.2  語言及其運算
           1.7.3  語言的閉包及其性質(zhì)
  習題1.7  
第2章  關(guān)系
  2.1  二元關(guān)系
           2.1.1     關(guān)系的概念
           2.1.2     關(guān)系的特例
           2.1.3     關(guān)系的域    
           2.1.4     關(guān)系矩陣與關(guān)系圖
  習題2.1
  2.2  具有特殊性質(zhì)的關(guān)系
           2.2.1     自反性    
           2.2.2     反自反性
           2.2.3     對稱性    
           2.2.4     反對稱性
           2.2.5     傳遞性    
  習題2.2
  2.3  復合關(guān)系與逆關(guān)系
           2.3.1     復合關(guān)系
           2.3.2     復合運算的矩陣實現(xiàn)及圖解
           2.3.3     復合冪運算的圖解          
           2.3.4     逆關(guān)系        
           2.3.5     復合運算和逆運算與集合運算的關(guān)系
  習題2.3
  2.4  關(guān)系的閉包運算
           2.4.1     閉包的概念
           2.4.2     閉包的性質(zhì)
           2.4.3     閉包的復合
  習題2.4
  2.5  等價關(guān)系與集合的劃分
           2.5.1     等價關(guān)系    
           2.5.2     集合的劃分
           2.5.3     等價關(guān)系與集合劃分的聯(lián)系
  習題2.5
  2.6  相容關(guān)系與覆蓋
           2.6.1     覆蓋
           2.6.2     相容關(guān)系
           2.6.3     極大相容類的求法
           2.6.4     相容關(guān)系與覆蓋之間的聯(lián)系
  習題2.6
  2.7  序關(guān)系
           2.7.1     擬序關(guān)系(半序、準序)        
           2.7.2     偏序關(guān)系(部分序)        
           2.7.3     哈斯圖        
           2.7.4     元素的大小與子集的界
           2.7.5     全序與良序        
  習題2.7  
第3章     映射
  3.1     映射的基本概念
           3.1.1     映射的概念
           3.1.2     單射、滿射和雙射
           3.1.3     兩映射相等        
           3.1.4     規(guī)范映射          
           3.1.5     f誘導的等價關(guān)系
           3.1.6     二元運算        
  習題3.1    
  3.2     映射的復合和逆
           3.2.1  映射的復合
           3.2.2     逆映射    
  習題3.2    
    3.3     歸納定義映射
  習題3.3    
  3.4     變換和置換
           3.4.1     基本概念
           3.4.2     置換的性質(zhì)
           3.4.3     輪換(循環(huán)置換)
           3.4.4     輪換的性質(zhì)      
  習題3.4    
    3.5     特征函數(shù)與模糊子集
           3.5.1     集合的特征函數(shù)
           3.5.2     模糊子集        
  習題3.5    
第4章     無限集合及其勢
  4.1     無限集合及其勢簡介
           4.1.1     有限集與無限集
           4.1.2     勢與等勢        
  習題4.1    
  4.2  可數(shù)集
  習題4.2
  4.3     勢比較與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
           4.3.1     不可數(shù)集的存在及連續(xù)統(tǒng)
           4.3.2     勢比較        
           4.3.3     勢的無限性和連續(xù)統(tǒng)假設(shè)
  習題4.3
  4.4  勢算術(shù)
  習題4.4
第2篇  近 世 代 數(shù)
第5章  代數(shù)系統(tǒng)
  5.1     運算及運算律
           5.1.1     運算
           5.1.2     運算律
           5.1.3  特殊元素
           5.1.4     特殊元素的性質(zhì)
  習題5.1    
  5.2     代數(shù)系統(tǒng)
           5.2.1     代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu))
           5.2.2     子代數(shù)系統(tǒng)        
  習題5.2  
  5.3     同態(tài)與同構(gòu)
           5.3.1     同類型的代數(shù)系統(tǒng)
           5.3.2     同態(tài)與同構(gòu)的概念
           5.3.3     同態(tài)性質(zhì)        
  習題5.3    
  5.4     同余關(guān)系
  習題5.4
  5.5     商代數(shù)與積代數(shù)
  習題5.5
  5.6     自然同態(tài)與同態(tài)三角形
  習題5.6
第6章     半群、獨異點和群
  6.1     半群
           6.1.1     半群
           6.1.2     子半群
           6.1.3     循環(huán)半群
           6.1.4     半群同態(tài)
  習題6.1
  6.2  獨異點
           6.2.1  獨異點
           6.2.2     子獨異點
           6.2.3     循環(huán)獨異點
           6.2.4     獨異點同態(tài)
  習題6.2
  6.3     群
           6.3.1     群的概念
           6.3.2     群的性質(zhì)
           6.3.3     群的階及元素的階
           6.3.4     低階實際群        
  習題6.3    
  6.4  子群
  習題6.4
  6.5     變換群、置換群和循環(huán)群
           6.5.1     變換群        
           6.5.2     置換群        
           6.5.3     循環(huán)群        
  習題6.5
  6.6     群同態(tài)與同構(gòu)
           6.6.1     群同態(tài)
           6.6.2     群同構(gòu)
           6.6.3     同態(tài)核
  習題6.6
  6.7     陪集及拉格朗日定理
  習題6.7
  6.8     正規(guī)子群及群同態(tài)三角形
           6.8.1     正規(guī)子群          
           6.8.2     商群          
           6.8.3     群同態(tài)三角形
  習題6.8    
第7章  環(huán)、體、域環(huán)
         7.1.1  環(huán)的基本概念          
         7.1.2  環(huán)的性質(zhì)      
          7.1.3  子環(huán)          
  習題7.1        7.2  環(huán)同態(tài)、理想和商環(huán)  
           7.2.1  環(huán)同態(tài)        
           7.2.2  同余關(guān)系與理想          
           7.2.3  商環(huán)      
           7.2.4     環(huán)同態(tài)三角形          
        習題7.2            
        7.3  體和域            
           7.3.1  體和域的概念        
           7.3.2  體和域的簡單性質(zhì)          
           7.3.3  商體和商域        
        習題7.3            
第8章  格與布爾代數(shù)
        8.1  格
           8.1.1  格的概念        
           8.1.2  格的基本性質(zhì)        
           8.1.3  低階實際格          
           8.1.4  格——代數(shù)系統(tǒng)        
        習題8.1            
        8.2  特殊格          
           8.2.1  有界格        
           8.2.2  有補格        
           8.2.3  分配格        
        習題8.2            
        8.3  布爾代數(shù)            
           8.3.1  布爾代數(shù)的概念及基本性質(zhì)        
           8.3.2  子布爾代數(shù)          
           8.3.3  布爾環(huán)        
        習題8.3          
        8.4  布爾同態(tài)          
           8.4.1  布爾同態(tài)的概念及簡單性質(zhì)      
           8.4.2  布爾代數(shù)表示定理          
        習題8.4            
        8.5  布爾表達式與布爾函數(shù)            
           8.5.1  布爾表達式的基本概念        
           8.5.2  布爾表達式的范式及分類        
           8.5.3  布爾函數(shù)        
           8.5.4  如何求范式    
    
第3篇  圖    論
第9章  圖論
  9.1  基本概念            
  習題9.1            
  9.2  子圖與同構(gòu)          
  習題9.2          
  9.3  路與回路            
  習題9.3        
  9.4  可達與連通            
  習題9.4          
  9.5  圖的矩陣表示            
  習題9.5            
  9.6  歐拉圖與漢密爾頓圖          
  習題9.6            
  9.7  二分圖與匹配            
  習題9.7            
  9.8  平面圖          
  習題9.8          
  9.9  對偶圖與著色            
  習題9.9          
  9.10  無向樹            
  習題9.10            
  9.11  有向樹            
  習題9.11            
第4篇  數(shù) 理 邏 輯
  
第10章  命題邏輯
  10.1  命題及聯(lián)結(jié)詞            
           10.1.1     命題        
           10.1.2     聯(lián)結(jié)詞        
  習題10.1             184    
  10.2  命題公式與恒等公式            
           10.2.1     命題公式        
           10.2.2     恒等公式          
  習題10.2            
  10.3  聯(lián)結(jié)詞的擴充與歸約            
           10.3.1  聯(lián)結(jié)詞的擴充      
           10.3.2     聯(lián)結(jié)詞的歸約        
  習題10.3          
  10.4  永真式與蘊含式            
           10.4.1     永真式及其性質(zhì)        
           10.4.2     恒等式的性質(zhì)      
           10.4.3     蘊含式        
  習題10.4            
  10.5  代入與置換、對偶            
           10.5.1     代入規(guī)則          
           10.5.2  置換規(guī)則        
           10.5.3     用代入和置換規(guī)則證明的實例      
           10.5.4     對偶原理      
  習題10.5          
  10.6  范
           10.6.1     范式的概念    
           10.6.2     范式的性質(zhì)    
           10.6.3     如何求主范式
  習題10.6
  10.7  推理規(guī)則及證明方法
           10.7.1  推理理論          
           10.7.2     證明方法          
           10.7.3     演繹證明原理          
           10.7.4     演繹證明的具體方法  
  習題10.7
第11章  謂詞邏輯
  11.1  謂詞與量詞
           11.1.1     謂詞          
           11.1.2     量詞          
           11.1.3     個體域  
           11.1.4     如何將一個具體命題符號化
  習題11.1
  11.2  謂詞公式及變元的約束
           11.2.1     謂詞公式
           11.2.2  變元的約束
  習題11.2
  11.3  謂詞演算的恒等式、永真式和蘊含式
           11.3.1     謂詞演算的恒等式            
           11.3.2     謂詞演算的永真式及蘊含式
           11.3.3     實例
  習題11.3
    11.4  謂詞邏輯的代入與置換規(guī)則
           11.4.1     代入規(guī)則      
           11.4.2     置換規(guī)則      
           11.4.3     對偶原理      
  11.5  前束范式和Skolem范式
           11.5.1     前束范式          
           11.5.2     Skolem范式          
  習題11.5
  11.6  謂詞邏輯的推理規(guī)則        
           11.6.1     術(shù)語“A(x)對y是自由的”的意義        
           11.6.2     謂詞邏輯中的推理規(guī)則        
           11.6.3     實例      
  習題11.6
附錄A     “離散數(shù)學”在其他課程中的應(yīng)用列表
參考文獻