數(shù)學分析

第1章集合.映射與函數(shù)
1.1集合
1.1.1集合
1.1.2數(shù)集
1.2映射
1.2.1映射的概念
1.2.2映射的復合
1.3函數(shù)
1.3.1函數(shù)的概念
1.3.2函數(shù)的表示
1.3.3函數(shù)的運算
1.3.4函數(shù)的幾何特性
第2章序列極限
2.1序列極限的概念
2.1.1序列
2.1.2序列極限定義
2.2序列極限性質(zhì)
2.2.1幾何性質(zhì)
2.2.2極限的運算性質(zhì)
2.3斂散性判定定理及相關(guān)結(jié)論
2.3.1單調(diào)有界原理
2.3.2區(qū)間套原理
2.3.3有限覆蓋定理
2.3.4致密性定理
2.3.5柯西收斂準則
第3章函數(shù)極限與連續(xù)
3.1函數(shù)極限的定義
3.1.1當x→a時,f(x)→A的定義
3.1.2當x→∞時,f(x)→A的定義
3.1.3左.右極限
3.1.4函數(shù)極限的兩個等價定義
3.2函數(shù)極限性質(zhì)
3.2.1函數(shù)極限的幾何性質(zhì)
3.2.2函數(shù)極限的運算性質(zhì)
3.3兩個重要極限
3.3.1limsinx/x
3.3.2lim(1+1/x)x
3.4函數(shù)連續(xù)與間斷
3.4.1函數(shù)連續(xù)的定義
3.4.2在x0處連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)
3.4.3初等函數(shù)的連續(xù)性
3.4.4間斷點的類型
3.5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)
3.5.1有界性定理.最大(小)值定理
3.5.2介值定理.零點定理
3.5.3一致連續(xù)
3.6無窮小(大)量及階
3.6.1無窮小(大)量定義及性質(zhì)
3.6.2階的概念,
第4章微分.導數(shù)
4.1微分.導數(shù)的定義
4.1.1微分.導數(shù)的定義
4.1.2導數(shù)的物理.幾何意義
4.2微分.導數(shù)運算
4.2.1導數(shù).微分的四則運算
4.2.2一階微分形式不變性(復合函數(shù)求導法則)
4.2.3基本初等函數(shù)求導公式
4.2.4隱函數(shù)求導法
4.2.5參數(shù)方程所表示函數(shù)的求導法
4.3一階導數(shù).微分的應(yīng)用
4.3.1變化率(速度)
4.3.2曲線的切線.法線
4.3.3微分的應(yīng)用
4.4高階導數(shù)與高階微分
4.4.1高階微分.高階導數(shù)的概念
4.4.2高階微分.高階導數(shù)的運算
4.4.3參數(shù)方程.隱函數(shù)所表示函數(shù)的高階導數(shù)
第5章利用導數(shù)研究函數(shù)
5.1微分中值定理
5.1.1費馬定理.羅爾中值定理
5.1.2拉格朗日中值定理
5.1.3柯西中值定理
5.2洛比達法則
5.2.10/0型
5.2.2∞/∞型不定式
5.2.3其他的不定型
5.3泰勒公式
5.3.1具有佩亞諾余項的泰勒展開式
5.3.2帶有拉格朗日余項的泰勒展開式
5.3.3基本初等函數(shù)的馬克勞林展開式
5.4函數(shù)圖像分析
5.4.1函數(shù)的上升.下降
5.4.2函數(shù)的極植.最值
5.4.3函數(shù)的凸性與拐點
5.4.4漸近線
5.4.5函數(shù)作圖
第6章不定積分
6.1不定積分的概念
6.1.1不定積分的定義
6.1.2積分公式
6.1.3不定積分的線性性質(zhì)
6.2不定積分計算
6.2.1第一變量替換
6.2.2分部積分法
6.2.3兩類能用初等函數(shù)表示的積分
第7章定積分及其應(yīng)用
7.1定積分的概念
7.1.1定積分的定義
7.1.2定積分存在的條件
7.1.3幾類可積函數(shù)
7.2定積分的性質(zhì)
7.3定積分的計算
7.3.1牛頓—萊布尼茨公式
7.3.2定積分的換元公式
7.3.3定積分的分部積分公式
7.4定積分的應(yīng)用
7.4.1平面圖形的面積
7.4.2曲線的弧長
7.4.3微元法
第8章歐氏空間與多元函數(shù)
8.1n維歐氏空間
8.1.1n維歐氏空間
8.1.2Rn中點列的收斂性
8.2Rn中點集的拓撲
8.2.1概念
8.2.2開集與閉集
8.2.3開集與閉集的基本性質(zhì)
8.3Rn的基本性質(zhì)
8.3.1完備性
8.3.2聚點原理
8.3.3有限覆蓋定理
8.4多元函數(shù)與向量函數(shù)
8.4.1映射
8.4.2向量值函數(shù)
8.4.3多元函數(shù)的幾何表示
8.5多元函數(shù)的極限
8.5.1多元函數(shù)的極限
8.5.2向量函數(shù)的極限
8.5.3累次極限
8.6多元函數(shù)的連續(xù)性
8.6.1多元連續(xù)函數(shù)的概念
8.6.2連續(xù)的等價命題
8.6.3連續(xù)與緊性
8.6.4連續(xù)與連通性
第9章多元函數(shù)的微分學
9.1偏導數(shù)與全微分的概念
9.1.1偏導數(shù)
9.1.2偏導數(shù)的求法
9.1.3全微分的定義
9.2復合函數(shù)偏導數(shù)的鏈式法則
9.2.1復合函數(shù)
9.2.2一階微分形式的不變性
9.2.3微分的運算法則
9.3高階偏導數(shù)和高階全微分
9.3.1高階偏導數(shù)
9.3.2高階全微分
9.4泰勒公式
第10章多元函數(shù)微分學的應(yīng)用
10.1方向?qū)?shù)與梯度
10.1.1引言
10.1.2方向?qū)?shù)
10.1.3梯度
10.2曲線的切線與曲面的切平面
10.2.1參數(shù)曲線的切線
10.2.2參數(shù)曲面的切平面
10.2.3隱式曲面的切面方程
10.2.4隱式曲線的切線方程
10.3普通極值
10.3.1極值的定義
10.3.2極植的必要條件
10.3.3極值的充分條件
10.3.4二維情形
10.4條件極值問題
10.4.1引言
10.4.2條件極值的必要條件——拉格朗日乘子法
10.4.3條件極值的充分條件
10.5隱函數(shù)存在定理
10.5.1提法
10.5.2隱函數(shù)存在定理
10.5.3多變量與方程組的情形
10.5.4函數(shù)行列式的性質(zhì)
第11章多元函數(shù)的重積分
11.1重積分的概念
11.1.1物理背景
11.1.2幾何背景
11.1.3幾何形體Ω上的黎曼積分
11.2積分的性質(zhì)
11.3二重積分的計算
11.3.1化二重積分為累次積分
11.4二重積分的變量替換
11.4.1用極坐標計算二重積分
11.4.2二重積分的一般變量替換
11.5三重積分的計算
11.5.1化三重積分為累次積分
11.5.2三重積分的變量替換
11.5.3柱面坐標
11.5.4球面坐標
第12章曲線積分與曲面積分
12.1第一類型曲線積分
12.1.1線密度與質(zhì)量
12.1.2第一類曲線積分的定義與計算
12.2第一類曲面積分
12.2.1曲面面積
12.2.2面密度與質(zhì)量
12.2.3第一類曲面積分的計算
12.3第二類曲線積分
12.3.1功
12.3.2第二類曲線積分的計算
12.4第二類曲面積分
12.4.1雙側(cè)曲面
12.4.2流量
12.4.3第二類曲面積分的計算
第13章各種積分間的聯(lián)系
13.1格林公式
13.2曲線積分和路徑的無關(guān)性
13.3高斯公式
13.4斯托克司公式
第14章廣義積分
14.1無窮區(qū)間的廣義積分
14.2無窮區(qū)間廣義積分收斂性判別法
14.3無界函數(shù)的廣義積分
14.4無界函數(shù)積分收斂性的判別法
第15章數(shù)值級數(shù)
15.1上極限與下極限
15.2無窮級數(shù)
15.3正項級數(shù)
15.4任意項級數(shù)
15.4.1交錯級數(shù)
15.4.2絕對收斂級數(shù)
15.4.3阿貝爾判別法和狄利克雷判別法
15.5絕對收斂級數(shù)與條件收斂級數(shù)的性質(zhì)
15.5.1更序級數(shù)
15.5.2級數(shù)的乘法
15.6廣義積分與級數(shù)的關(guān)系
第16章函數(shù)項級數(shù)冪級數(shù)
16.1函數(shù)項級數(shù)的一致收斂
16.1.1函數(shù)項級數(shù)的概念
16.1.2一致收斂的定義
16.1.3一致收斂級數(shù)的性質(zhì)
16.2冪級數(shù)
16.2.1收斂半徑
16.2.2冪級數(shù)的性質(zhì)
16.2.3函數(shù)的冪級數(shù)展開
16.3逼近定理
第17章傅里葉級數(shù)
17.1傅里葉級數(shù)
17.1.1基本三角函數(shù)系
17.1.2傅里葉系數(shù)
17.2傅里葉級數(shù)的收斂性
17.2.1狄利克雷積分
17.2.2黎曼引理
17.2.3傅里葉級數(shù)的收斂性判別法
17.3任意周期的傅里葉展開及其復數(shù)形式